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Section 2.8 项目学习: 导数和微分的应用
Subsection 2.8.1 导函数图像
Project 2.8.1. 导数图像反映函数的性质.
将函数图像和其导数图像放在一起可以直观地展示函数在不同点上的瞬时变化率。函数的图像显示了输出值随输入值变化的趋势，而导数图像则揭示了这种趋势变化的速度和方向。具体来说，导数图像上的正值表示函数在相应区域上升，负值表示函数下降，而导数图像穿过横轴的点对应函数图像的局部极值点（最大值或最小值）。此外，导数图像的陡峭程度反映了函数图像的曲率：导数的绝对值越大，函数图像在那一点的弯曲程度越大。因此，这两个图像一起提供了函数行为的全面视角。
(a) 如何求函数的导函数.
Example 2.8.1.
令函数\(f(x)=x^3-3x^2-9x+14\text{.}\)
Questions:
-
画出函数\(f(x)\)的函数图像, 分别写出函数的单调递增区间和单调递减区间.
-
在区间\([-4,4]\)上, 画出函数\(f(x)\)和\(g(x)\)的图像.
讨论.
函数\(f(x)\) 的最值点(最大值和最小值点)和导函数\(g(x)\)的零点有什么关系?
函数\(f(x)\) 的单调性区间与导函数\(g(x)\)的函数值的正负性区间有没有联系?
(b)
通过修改原函数，观察导数图像如何变化，理解可导性与原函数特性的关系。
Subsection 2.8.2 微分在环境科学中的应用
Project 2.8.2. 利用微分求解逻辑斯蒂生长模型.
\begin{equation*}
\frac{dP}{dt} = rP \left(1 - \frac{P}{K}\right)\text{.}
\end{equation*}
特别的, 我们利用方程的解, 求得\(P(2)=4.65869\text{.}\) 在本章, 我们学习了导数的几何意义. 如果直接用函数线性化的方法会有极大地误差. 在本节, 我们加入SageMath, 来求解\(P(2)\)的值. 特别的, 要认真体会本项目学习中分割的数学思想.
注: 在本题中我们取 \(r = 2, K=5\) 和 \(P(0)=1\text{.}\)
(a) 简单线性化.
由
Subsection 2.6.5函数的线性化可知,
\(P'(0)=\frac{8}{5}\)(将
\(t=0\)代入微分方程右边),
\(P(2)\approx P(0)+P'(0)(2-0)=\frac{21}{5}=4.2\text{.}\)
问题: 求估计值\(P(2)\)的绝对误差和相对误差.
(b) 将区间\([0,2]\)二等分.
先利用线性化, 估计\((1,P(1))\text{,}\) 然后利用该点, 估计\((2,P(2))\text{.}\)
(c) 将区间\([0,2]\)N等分.
通过增加分点的个数, 精确估计函数值\(P(t)\text{.}\)
Answer.
讨论.
(a) 通过增加分割, 估计值的绝对误差和相对误差是否变小? 解释一下原因.
(b) 可否通过增大分割, 达到误差绝对小? 数学软件SageMath在这里可以助你一臂之力.
(d) *编程试试看.
Figure 2.8.2. 分割求函数值
Subsection 2.8.3 导数与电动汽车
Project 2.8.3. 电动汽车电池充放电.
电动汽车的普及正在全球范围内改变交通行业，它们的环保特性和高效能源利用对于应对气候变化和减少环境污染至关重要。中国在世界电动车市场中占据领先地位，不仅是最大的市场之一，也是在电动车及其相关技术的研发和制造方面的全球领头羊。电池的充放电管理作为电动车技术中的核心环节，对于提高电动车的续航里程、优化性能和延长电池寿命发挥着决定性作用。正是在这样的背景下，我们引入了一个描述电池充放电过程的数学模型，它清晰地展示了导数在监测和预测电池状态方面的重要性，从而为电动车的能效管理提供了理论基础。
(a) 电池放电状态模型.
在最新科技领域，比如电动汽车的电池管理系统中，了解电池充电状态（State of Charge，简称SOC）对于电池健康管理和充电策略至关重要。SOC是电池剩余电量的一个度量，通常表示为百分比。电池的SOC不仅取决于充放电电流，还受到温度、电池老化等因素的影响。SOC的计算公式为
\begin{equation*}
-\frac{1}{C} \frac{d I(t)}{d t}.
\end{equation*}
其代表的意义是电池电流相对于(电池容量\(C\))的变化率.为简化模型，可以假设在一定时间内电池的放电率为电池电流 \(I(t)\) 的函数，其中\(t\)代表时间。如果我们知道初始SOC和电池容量\(C\)(通常以安时为单位)，我们可以模拟电池的SOC随时间的变化。
Example 2.8.3.
假设一个电动汽车的电池初始充电状态为 \(100 \%\text{,}\) 电池容量为 \(C\) 安时, 电池在一段时间内放电的电流 \(I(t)\) 由下列方程给出:
\begin{equation*}
I(t)=I_0 \sin (\omega t)
\end{equation*}
其中 \(I_0\) 是最大电流， \(\omega\) 是角频率， \(t\) 是时间(单位：小时).
假定电池容量 \(C=50\) 安, \(I_0=5\) 安培, \(\omega=\frac{\pi}{2}\text{.}\)
求SOC关于时间的变化率
求在 \(t=2\) 小时后的SOC。
确定在何时电池将被完全放电。
点评.
这个例子涉及到了电动汽车电池管理的实际问题, 通过数学模型将导数与工程实务联系起来, 让学生能够理解微积分在现代工科领域的应用价值.
