Subsection 7.3.1 变力沿直线所做的功
设物体在变力 \(F\) 的作用下沿 \(x\) 轴运动, \(F\) 的方向与物体运动的方向一致, 且其大小是点 \(x\) 的连续函数, 即 \(F=F(x)\text{,}\) 物体在此
变力作用下从点 \(a\) 移动到点 \(b\) (见图 7-21),求变力 \(F\) 所做的功 \(W\text{.}\)
如果 \(F\) 是常力,那么由中学物理可知
\begin{equation*}
W=F \cdot s=F(b-a) .
\end{equation*}
如果 \(F\) 是变力 \(F=F(x)\text{,}\)那么它是一个非均匀变化的量, 故不能直接用上式求出. 但由于所求的功是一个整体量, 且对区间具有可加性,故可以用定积分的元素法来求出. 取 \(x\) 为积分变量, 它的变化区间为 \([a, b]\text{,}\)在 \([a, b]\) 上任取一小区间 \([x, x+\mathrm{d} x]\) (见图 7-21). 由于 \(F(x)\) 是连续函数, \(\mathrm{d} x\) 又很小,因而力的大小在这小区间上的变化很小,该区间上各点处的力可以用点 \(x\) 处的力 \(F(x)\) 近似代替, 因此相应小区间 \([x, x+\mathrm{d} x]\) 的功的元素为 \(\mathrm{d} W=F(x) \mathrm{d} x\text{.}\) 从而从 \(a\) 到 \(b\) 这一段上变力 \(F(x)\) 所做的功为
\begin{equation}
W=\displaystyle \int_{a}^{b} F(x) \mathrm{d} x .\tag{7.3.1}
\end{equation}
Example 7.3.1.
例 1 设弹簧在 \(1 \mathrm{~N}\) 力的作用下伸长 \(0.01 \mathrm{~m}\text{,}\) 计算将一弹簧从静止 (没有外力)位置拉到距离 \(a \mathrm{~m}\) 处克服弹力所做的功.
Solution.
解 以弹簧的初始位置为坐标原点, 建立坐标系(见图 7-22).
由力学定律知, 弹性力 \(F\) 的大小与弹簧的伸长(或压缩) \(x\) 成正比,即弹性力为
\begin{equation*}
F(x)=-k x \text { ( } k \text { 为比例系数). }
\end{equation*}
由已知 \(F=1 \mathrm{~N}\) 时, \(x=0.01 \mathrm{~m}\text{,}\) 代人上式得 \(k=-100\text{,}\)即
\begin{equation*}
F(x)=-100 x .
\end{equation*}
于是, 克服弹簧弹性力所做的功为 (与弹力方向相反)
\begin{equation*}
W=\displaystyle \int_{0}^{a} 100 x \mathrm{~d} x=50 a^{2} \mathrm{~J}
\end{equation*}
上面介绍的求变力 \(F(x)\) 所做的功的方法, 还可以应用于其他的功的计算中.
Example 7.3.2.
例 2 半径等于 \(R\) (单位: \(\mathrm{m}\) ) 的半球形水池, 池中充满了水, 把池内的水完全吸干,需做多少功?
Solution.
解 过中心轴作水池的截面图, 并取球心为原点, 向下建立坐标系, 如图 7-23 所示.
取水深 \(x\) 为积分变量, 它的变化区间是 \([0, R]\text{,}\)在 \([0, R]\) 上任取一小区间 \([x, x+\mathrm{d} x]\text{,}\) 与该区间相应的这一薄层水的重量近似为
\begin{equation*}
9.8 \rho \cdot \pi\left(R^{2}-x^{2}\right) \cdot \mathrm{d} x,
\end{equation*}
其中 \(\rho\) 为水的密度 \(\rho=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\text{.}\)
把这一薄层水吸上来所做的功, 相当于克服重力把水提升 \(x \mathrm{~m}\) 所做的功, 因此功元素为
\begin{equation*}
\mathrm{d} W=9.8 \rho \pi\left(R^{2}-x^{2}\right) x \mathrm{~d} x=9.8 \rho \pi\left(R x-x^{3}\right) \mathrm{d} x
\end{equation*}
从而把水完全吸干所做的功为
\begin{equation*}
W=\displaystyle \int_{0}^{R} 9.8 \rho \pi\left(R x-x^{3}\right) \mathrm{d} x=9.8 \rho \pi\left[\frac{1}{2} R x^{2}-\frac{1}{4} x^{4}\right]_{0}^{R} \approx 7.70 \times 10^{3} R^{4} \mathrm{~J} .
\end{equation*}
Subsection 7.3.3 引力
由万有引力公式知道, 质量分别为 \(m_{1}, m_{2}\text{,}\) 相距为 \(r\) 的两质点间的引力的大小为
\begin{equation*}
F=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}},
\end{equation*}
其中 \(G\) 为引力系数,引力的方向沿着两质点的连线方向.
现要计算一根细棒对一个质点的引力. 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力的方向也是变化的, 因此就不能直接用上述公式来计算. 下面举例说明.
Example 7.3.4.
例 4 设有一长度为 \(l\) 、线密度为 \(\mu\) 的均匀细直棒,在其中垂线上距棒 \(a\) 单位处有一质量为 \(m\) 的质点 \(M\) (见图 7-25), 试计算该棒对质点 \(M\) 的引力.
Solution.
解 取坐标系如图 7-25 所示, 使棒位于 \(y\) 轴上, 质点 \(M\) 位于 \(x\) 轴上, 棒的中点为原点 \(O\text{.}\) 取 \(y\) 为积分变量, 它的变化区间为 \(\left[-\frac{l}{2}, \frac{l}{2}\right]\text{.}\) 设 \([y, y+\) \(\mathrm{d} y]\) 为 \(\left[-\frac{l}{2}, \frac{l}{2}\right]\) 的一段小区间, 把细直棒上相应于 \([y, y+\mathrm{d} y]\) 的一段近似地看成质点, 其质量为 \(\mu \mathrm{d} y\text{,}\)与 \(M\) 相距 \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\text{.}\) 因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 \(M\) 的引力 \(\Delta F\) 的大小为
\begin{equation*}
\Delta F \approx G \frac{m \mu \mathrm{d} y}{a^{2}+y^{2}}
\end{equation*}
从而求出 \(\Delta F\) 在水平方向分力 \(\Delta F_{x}\) 的近似值, 即细直棒对质点 \(M\) 的引力在水平方向分力 \(F_{x}\) 的元素为
\begin{equation*}
\mathrm{d} F_{x}=-G \frac{a m \mu \mathrm{d} y}{\left(a^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
\end{equation*}
于是得引力在水平方向分力为
\begin{equation*}
F_{x}=-\displaystyle \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{G a m \mu}{\left(a^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} y=-\frac{2 G m \mu l}{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 a^{2}+l^{2}}} .
\end{equation*}
由对称性知,引力在铅直方向分力为 \(F_{y}=0\text{.}\)
当细直棒的长度 \(l\) 很大时, 可视 \(l\) 趋于无穷. 此时, 引力的大小为 \(\frac{2 G m \mu}{a}\text{,}\) 方向与细棒垂直且由 \(M\) 指向细棒.
Subsection 7.3.4 平均值和均方根
一组 \(n\) 个数据 \(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\) 的算术平均值
\begin{equation*}
\bar{y}=\frac{1}{n}\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}\right) \text {. }
\end{equation*}
在实际问题中,常常需要求一个连续变化的物理量在某一范围内的平均值. 例如求变速运动的物体在某段时间内的平均速度,一昼夜间的平均气温, 交流电在其周期 \(T\) 内的平均功率等. 归结为数学问题, 就是求一个连续函数 \(f(x)\) 在某一区间 \([a, b]\) 上的平均值. 下面用元素法的基础一一定积分的基本思想来处理这个问题.
首先用分割的方法,把区间 \([a, b]\) 分成 \(n\) 等分, 分点为 \(a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<\) \(x_{n}=b\text{,}\) 每个小区间的长度为 \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\text{.}\) 其次作近似, 对于 \(n\) 个分点处的函数值 \(f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \cdots, f\left(x_{n}\right)\text{,}\) 可以用它们的算术平均值
\begin{equation*}
\frac{1}{n}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right)\right]=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)
\end{equation*}
近似表示函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上所取得的一切值的平均值. 定义当 \(n \rightarrow \infty(\Delta x \rightarrow 0)\)时,上述算术平均值的极限
\begin{equation*}
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)
\end{equation*}
称为函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的平均值, 记作 \(\bar{y}\text{,}\)下面用定积分把 \(\bar{y}\) 表示出来.
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\bar{y} & =\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{b-a} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{b-a}{n} f\left(x_{i}\right) \\
& =\frac{1}{b-a} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right) \Delta x_{i}=\frac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x .
\end{aligned}
\end{equation*}
注意 由积分中值定理(参见 6.2 定积分的性质)有公式 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)\text{,}\)可以看出积分中值定理中的 \(f(\xi)=\frac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\text{,}\) 就是连续函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的平均值.
Example 7.3.5.
例 5 计算纯电阻电路中正弦交流电 \(i=I_{\mathrm{m}} \sin \omega t\) 在一个周期内功率的平均值 (简称为平均功率).
Solution.
解 设该电阻为 \(R\text{,}\) 那么电路中的电压
而功率为
\begin{equation*}
\begin{gathered}
U=i R=I_{\mathrm{m}} R \sin \omega t \\
P=U i=I_{\mathrm{m}}^{2} R \sin { }^{2} \omega t
\end{gathered}
\end{equation*}
因为交流电的周期 \(T=\frac{2 \pi}{\omega}\text{,}\) 所以在一个周期上功率 \(P\) 的平均值
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\bar{P} & =\frac{1}{\frac{2 \pi}{\omega}} \displaystyle \int_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega}} I_{\mathrm{m}}^{2} R \sin ^{2} \omega t \mathrm{~d} t=\frac{I_{\mathrm{m}}^{2} R}{2 \pi} \displaystyle \int_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega}} \sin ^{2} \omega t \mathrm{~d}(\omega t) \\
& =\frac{I_{\mathrm{m}}^{2} R}{4 \pi} \displaystyle \int_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega}}(1-\cos 2 \omega t) \mathrm{d}(\omega t)=\frac{I_{m}^{2} R}{4 \pi}\left[\omega t-\frac{1}{2} \sin ^{2} \omega t\right]_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega}} \\
& =\frac{1}{2} I_{\mathrm{m}}^{2} R=\frac{1}{2} I_{\mathrm{m}} U_{\mathrm{m}} \quad\left(U_{\mathrm{m}}=I_{\mathrm{m}} R\right) .
\end{aligned}
\end{equation*}
这说明, 纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流和电压的峰值乘积的一半.
在实际问题中, 还经常用到另一种平均值, 即均方根.
\begin{equation*}
\sqrt{\frac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x}
\end{equation*}
被称为函数 \(y=f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的均方根.
利用这个公式,不难计算出
Example 7.3.5 中正弦交流电
\(i=I_{\mathrm{m}} \sin \omega t\) 在一个周期内的均方根
\begin{equation*}
I=\sqrt{\frac{\omega}{2 \pi} \displaystyle \int_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega}} I_{\mathrm{m}}^{2} \sin ^{2} \omega t \mathrm{~d} t}=\frac{I_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}
\end{equation*}
这个值在电工学中称它为电流的有效值, 正弦交流电的有效值等于它峰值的 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}\)类似可求得交流电压 \(U=U_{\mathrm{m}} \sin \omega t\) 的有效值也等于它的峰值的 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}\)
通常交流电器上标明的功率是平均功率, 电流、电压指的是电流、电压的有效值. 例如, 照明用的电灯泡上标有 “ \(40 \mathrm{~W}, 220 \mathrm{~V}\) ” 的字样, \(40 \mathrm{~W}\) 是指平均功率, \(220 \mathrm{~V}\)是指交流电压的有效值.
