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高等数学: 数字教材

T,谭易兰, C

Section 4.7 本章小结

Subsection 4.7.1 主要内容

本章的主要内容是以导数为工具计算未定式的极限及研究函数的性态.
  1. 洛必达法则
    \(\frac{0}{0}\) 型、 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型未定式可以直接使用洛必达法则, \(0 \cdot \infty\text{,}\) \(\infty-\infty\text{,}\) \(0^{0}\text{,}\) \(\infty^{0}\text{,}\) \(1^{\infty}\) 型未定式须转化为 \(\frac{0}{0}\) 型、 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型未定式,再使用洛必达法则.
    运用洛必达法则求极限时,应注意以下几点：
    1. 洛必达法则是对分子、分母分别求导,而不是对整个商求导;
    2. 只有 \(\frac{0}{0}\) 型、 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型未定式能用洛必达法则;
    3. 数列极限不能直接使用洛必达法则;
    4. 尽量与前面所学求极限的方法 (重要极限公式、等价无穷小量代换等)结合运用, 以简化极限的计算.
  2. 求函数的单调区间与极值的步骤
    1. 确定连续函数 \(f(x)\) 的定义域;
    2. 求出 \(f^{\prime}(x)\text{,}\) 用 \(f^{\prime}(x)\) 等于零的点 (驻点) 及 \(f^{\prime}(x)\) 不存在的点, 将定义域分成若干个区间;
    3. 判断 \(f^{\prime}(x)\) 在每个区间内的符号, 就可以确定函数 \(f(x)\) 的单调性;
    4. 考察每个驻点及 \(f^{\prime}(x)\) 不存在的点的左、右临近的函数的单调性, 单调性的转折点即为极值点, 确定是极大值点还是极小值点, 求出极值.
  3. 求曲线的凹凸区间与拐点的步骤
    与求函数的单调区间与极值的步骤类似, 只需要将其中的 \(f^{\prime}(x)\) 换成 \(f^{\prime \prime}(x)\text{.}\)
  4. 求最大值和最小值
    闭区间 \([a, b]\) 上的连续函数 \(f(x)\) 一定能取得最大值和最小值. 只需求出 \((a, b)\)内所有驻点、一阶导数不存在点的函数值及 \(f(a), f(b)\text{,}\) 其中最大 (小) 的值便是函数的最大 (小) 值.
    求解实际应用问题的最大值、最小值问题的步骤:
    1. 理解实际问题的题意, 弄清要解决的问题;
    2. 建立实际问题的数学模型, 确定定义域, 即将实际问题转化为数学上求一 个区间上的连续函数的最大值、最小值问题;
    3. 求函数在定义域内的驻点和函数变化的区间端点处的函数值, 它就是最大 (小) 值的嫌疑点, 比较对应的函数值的大小就得到了最大 (小) 值.
  5. 描绘函数 \(y=f(x)\) 的图形的一般步骤
    1. 确定函数 \(y=f(x)\) 的定义域及函数的某些特征, 如奇偶性、周期性等;
    2. 求函数的一阶和二阶导数, 找出 \(f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)\) 等于零及 \(f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)\) 不存在的点, 用这些点将定义域划分为若干个区间;
    3. 确定所分区间中 \(f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)\) 的正负号, 列表, 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点;
    4. 检查函数图形有无渐近线;
    5. 适当定出图形上的几个点,绘图.
  6. 弧微分和曲率 弧微分： \(\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x\) 或 \(\mathrm{d} s=\sqrt{(\mathrm{d} x)^{2}+(\mathrm{d} y)^{2}}\text{;}\)
    曲率: \(K=\left|\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s}\right|=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}\text{.}\)

Subsection 4.7.2 基本要求

  1. 熟练运用洛必达法则求未定式的极限.
  2. 理解函数的极值概念, 熟练掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法; 会求解较简单的最大值和最小值的应用问题; 会利用函数的单调性、最大 (小)值证明不等式.
  3. 熟练掌握用导数判断函数图形的凹凸性和求拐点的方法; 会求曲线的水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线, 会描绘函数的图形.
  4. 了解弧微分的概念; 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径.

Subsection 4.7.3 学习指导

  1. 在使用洛必达法则计算 \(\frac{0}{0}\) 型、 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型未定式时,一定要注意是否满足条件;用过一次洛必达法则以后依然同时满足法则的三个条件时,仍可继续使用洛必达法则. 洛必达法则的前两个条件一般都显而易见, 第三个条件尤其重要. 使用洛必达法则时若极限不存在, 并不表示原极限不存在, 而是说明原极限不能使用洛必达法则, 此时正确的处理方法是寻找其他方法进行计算.
  2. 函数单调性的判定定理中, 函数在闭区间 \([a, b]\) 上连续, 在开区间 \((a, b)\) 内可导,若将闭区间换为开区间则结果仍成立. 当判定定理的条件不满足时, 只能寻找其他方法判别函数的单调性.
  3. 求函数的极值点应先求导, 获得全部驻点及导数不存在的点, 然后由判定 定理根据这些点附近的单调性进行极大 (小)值的判定.
  4. 求函数最大 (小) 值, 应先确定函数的极大 (小) 值, 然后与区间两端点的函数值比较. 因此, 用导数判断函数极大 (小) 值是解决函数最值问题的关键.
  5. 利用函数的二阶导数可以判断曲线的凹凸性及拐点. 掌握凹凸性及拐点的特性可为更好地描绘函数图形打好基础. 仅通过函数的单调性, 只能判断曲线是上升还是下降, 通过凹凸性则可以判断曲线上升或下降的方式. 函数的单调性由 \(f^{\prime}(x)\) 来判断, 而凹凸性由 \(f^{\prime \prime}(x)\) 来判断.
  6. 利用导数可以判断函数的单调性、求解极值、判断函数图形的凹凸性及拐点等. 将它们综合在一起就形成了函数图形描绘的高等数学方法.
  7. 弧微分是基于有向弧段引人的. 由弧微分计算公式可导出曲率计算公式.规定: 曲率的倒数为曲率半径.
  8. 曲率是描述曲线弯曲程度的量, 是一元微分学中导数的又一个几何应用,同时也是工程设计、道路桥梁设计等的基础.

Subsection 4.7.4 自我检测题 4

  1. 求下列各极限:
    1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}-1}{\sin ^{2} x}\text{;}\)
    2. \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x-1)}{\ln \left(x^{2}-1\right)}\text{;}\)
    3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos x}}\text{.}\)
  2. 试解下列各题:
    1. 讨论函数 \(y=(x+1)^{3}\) 在区间 \((-1,2)\) 内的单调性;
    2. 求函数 \(y=(x-1)^{2}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上的极小值点;
    3. 曲线 \(y=\mathrm{e}^{-x^{2}}\) 有没有拐点? 若有,有几个?
    4. 曲线 \(y=2 \ln \frac{x+3}{x}-3\) 有没有水平渐近线? 若有,求出水平渐近线;
    5. 函数 \(y=x^{2}+1\) 在区间 \((-1,1)\) 上有没有最大值?
  3. 设 \(f(x)= \begin{cases}-x^{2}, & x<0, \\ x \arctan x & x \geqslant 0 .\end{cases}\)
    1. 求 \(f^{\prime}(0)\text{;}\)
    2. 确定 \(f(x)\) 的单调增减区间 (要求写出计算过程).
  4. 讨论函数 \(y=\mathrm{e}^{|x|}\) 在点 \(x=0\) 处是否可导? 有没有极值? 如果有, 求出极值.
  5. \(A, B\) 两厂与码头均位于一条东西向直线形河流的同一侧, 河岸边的 \(A\) 厂离码头 \(10 \mathrm{~km}\text{,}\) \(B\) 厂在码头正北方, 离码头 \(4 \mathrm{~km}\text{.}\) 今要在 \(A, B\) 两厂间修筑一条公路, 沿河岸筑路时, 费用为 3000 元 \(/ \mathrm{km}\text{;}\) 不沿河岸筑路, 费用为 5000 元 \(/ \mathrm{km}\text{.}\) 问此公路从 \(A\) 厂开始沿河岸修筑多长, 才能使筑路总费用最省?
  6. 证明不等式: \(x>\ln \left(1+x^{2}\right)\text{,}\) 其中 \(x>0\text{.}\)
  7. 求曲线 \(y=\frac{1}{3} x^{3}(x>0)\) 上各点处的曲率及曲率半径, 并求此曲线上曲率半径最小的点.

Subsection 4.7.5 复 习 题 4-7

  1. 求下列极限:
    1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-a^{-x}}{1-x-\log _{a}(a-x)}\text{;}\)
    2. \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{8}}{8^{x}}\text{;}\)
    3. \(\lim\limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \sin \left(\frac{\pi}{6}-x\right) \tan 3 x\text{;}\)
    4. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{x}-2 \mathrm{e}^{2 x}+2 \mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}\text{;}\)
    5. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{\cos \frac{\pi x}{2} \ln (1-x)}\text{;}\)
    6. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{x}}\text{.}\)
  2. 如果对某一常数 \(C\text{,}\) 极限 \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+C \mathrm{e}^{x}\right)}{\sqrt{1+C x^{2}}}=4\text{,}\) 求 \(C\) 的值.
  3. 求下列函数的单调区间:
    1. \(y=\frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}\text{;}\)
    2. \(y=x \sqrt{a x-x^{2}}\text{.}\)
  4. 求函数 \(y=x \cos x-\sin x(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi)\) 的极值、最大及最小值.
  5. 证明不等式:
    1. \(\ln x>\frac{2(x-1)}{x+1}, x>1\) 时;
    2. \(1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)>\sqrt{1+x^{2}}, x>1\) 时.
  6. 对于内接于半径为 \(R\) 的球的圆雉体, 当它具有最大体积时, 求其高.
  7. 平行于定圆上定点 \(A\) 处的切线引圆的弦 \(B C\text{,}\) 当 \(A\) 到 \(B C\) 的距离为多少时, 才能使 \(\triangle A B C\) 的面积为最大.
  8. 设曲线 \(y=x^{3}+a x^{2}+b x+c\) 有拐点 \((1,-1)\text{,}\) 且在 \(x=0\) 处有极大值, 试确定常数 \(a, b, c\)的值.
  9. 作函数 \(y=x^{2} \mathrm{e}^{-x}\) 的图形.
  10. 设函数 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 内具有二阶导数, 且满足 (1) \(f(a)>0 ;(2) f^{\prime}(a)<0\text{;}\) (3) 当 \(x>a\) 时, \(f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0\text{.}\) 试证在区间 \((a,+\infty)\) 内有且仅有方程 \(f(x)=0\) 的一个实根.
  11. 设函数 \(y=f(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 的某邻域内具有三阶连续导数, 如果 \(f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0\text{,}\) 而 \(f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0\text{,}\)证明 \(\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)\) 为曲线 \(y=f(x)\) 的拐点.
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