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高等数学: 数字教材

T,谭易兰, C

Section 6.5 反常积分

在前面讨论定积分时, 有两个基本约束条件, 即积分区间的有限性; 被积函数在积分区间上的有界性. 但在某些实际问题中, 又往往需要突破这些限制条件, 考 虑无穷区间上的积分或对无界函数求积分. 这种积分称为反常积分, 而相应地把前面讨论的积分称为正常积分或常义积分. 对反常积分, 实际上是利用常义积分来定义的.

Subsection 6.5.1 无穷限的反常积分

Definition 6.5.1.

定义 1 设函数 \(f(x)\) 在无限区间 \([a,+\infty)\) 内连续,若对任意的 \(b>a\text{,}\) 极限 \(\lim\limits_{b \rightarrow+\infty} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 存在, 则称此极限为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \([a,+\infty)\) 内的反常积分, 记作 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\text{,}\) 即
\begin{equation*} \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\lim\limits_{b \rightarrow+\infty} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x . \end{equation*}
这时也称反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛; 若上述极限不存在, 则称函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \([a,+\infty)\) 内的反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 不存在或发散.
类似地, 设函数 \(f(x)\) 在区间 \((-\infty, b]\) 上连续, 取任意 \(a<b\text{,}\) 若极限 \(\lim\limits_{a \rightarrow-\infty} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 存在, 则称此极限为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \((-\infty, b]\) 上的反常积分, 记作 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d} x\text{,}\) 即
\begin{equation*} \displaystyle \int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim\limits_{a \rightarrow-\infty} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x . \end{equation*}
这时也称反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛; 若上述极限不存在, 则称反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 不存在或发散.
同样, 若函数 \(f(x)\) 在区间 \((-\infty,+\infty)\) 上连续, 反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x\) 和 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 都收敛, 则称上述两个反常积分之和为函数 \(f(x)\) 在无穷区间 \((-\infty,+\infty)\) 上的反常积分, 记作 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\text{,}\) 即
\begin{equation*} \begin{aligned} \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x & =\displaystyle \int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x \\ & =\lim\limits_{a \rightarrow-\infty} \displaystyle \int_{a}^{0} f(x) \mathrm{d} x+\lim\limits_{b \rightarrow+\infty} \displaystyle \int_{0}^{b} f(x) \mathrm{d} x . \end{aligned} \end{equation*}
这时也称反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛, 否则就称反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.
若反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \displaystyle \int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d} x, \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛, 且 \(F^{\prime}(x)=f(x)\text{,}\) 则记 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=[F(x)]_{a}^{+\infty}, \displaystyle \int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d} x=[F(x)]_{-\infty}^{b}, \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=[F(x)]_{-\infty}^{+\infty}\text{.}\)

Example 6.5.2.

例 1 判别无穷限反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x\) 的敛散性, 其中 \(a>0, p\) 为常数.
Solution.
解 根据定义, 当 \(p \neq 1\) 时, 对任意的 \(b>a\text{,}\) 有
\begin{equation*} \displaystyle \int_{a}^{b} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{1-p} x^{1-p}\right]_{a}^{b}=\frac{1}{1-p}\left(b^{1-p}-a^{1-p}\right), \end{equation*}
故得 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x=\lim\limits_{b \rightarrow+\infty} \displaystyle \int_{a}^{b} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{1-p} \lim\limits_{b \rightarrow+\infty}\left(b^{1-p}-a^{1-p}\right)= \begin{cases}\frac{1}{p-1} a^{1-p}, & p>1, \\ +\infty, & p<1 .\end{cases}\)
当 \(p=1\) 时,有
\begin{equation*} \displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x=\lim\limits_{b \rightarrow+\infty} \displaystyle \int_{a}^{b} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=[\ln x]_{a}^{+\infty}=+\infty . \end{equation*}
因此, 当 \(p>1\) 时, 该反常积分收敛,其值为 \(\frac{a^{1-p}}{p-1}\text{;}\) 当 \(p \leqslant 1\) 时, 该反常积分发散.

Example 6.5.3.

例 2 计算 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \sin x \mathrm{~d} x\text{.}\)
Solution.
解 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \sin x \mathrm{~d} x=-\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sin x \mathrm{de}^{-x}=\left[-\mathrm{e}^{-x} \sin x\right]_{0}^{+\infty}+\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos x \mathrm{~d} x\)
\begin{equation*} =-\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos x \mathrm{de}^{-x}=\left[-\mathrm{e}^{-x} \cos x\right]_{0}^{+\infty}-\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \sin x \mathrm{~d} x, \end{equation*}
所以
\begin{equation*} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \sin x \mathrm{~d} x=\left[-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-x} \cos x\right]_{0}^{+\infty}=\frac{1}{2} . \end{equation*}

Example 6.5.4.

例 3 计算反常积分 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-p x} \mathrm{~d} x\) （ \(p\) 为常数,且 \(\left.p>0\right)\text{.}\)
Solution.
解 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-p x} \mathrm{~d} x=-\frac{1}{p} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} x \mathrm{de}^{-p x}=\left[-\frac{1}{p} x \mathrm{e}^{-p x}\right]_{0}^{+\infty}+\frac{1}{p} \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-p x} \mathrm{~d} x\)
\begin{equation*} =-\frac{1}{p} \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x \mathrm{e}^{-p x}+\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p^{2}} . \end{equation*}

Example 6.5.5.

例 4 计算反常积分 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{2}}\text{.}\)
Solution.
解 由定义 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{2}}=\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{2}}+\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{2}}\)
\begin{equation*} \begin{aligned} & =\lim\limits_{a \rightarrow-\infty} \displaystyle \int_{a}^{0} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x+\lim\limits_{b \rightarrow+\infty} \displaystyle \int_{0}^{b} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \\ & =\lim\limits_{a \rightarrow-\infty}[\arctan x]_{a}^{0}+\lim\limits_{b \rightarrow+\infty}[\arctan x]_{0}^{b} \\ & =-\lim\limits_{a \rightarrow-\infty} \arctan a+\lim\limits_{b \rightarrow+\infty} \arctan b=-\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2}=\pi . \end{aligned} \end{equation*}

Subsection 6.5.2 无界函数的反常积分

关于无穷区间上的反常积分的概念,可以类推到无界函数的情形.

Definition 6.5.6.

定义 2 设函数 \(f(x)\) 在 \((a, b]\) 上连续, 而在点 \(a\) 的右邻域内无界, 取 \(\varepsilon>0\text{,}\)若极限
\begin{equation*} \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) \mathrm{d} x \end{equation*}
存在, 则称此极限为函数 \(f(x)\) 在 \((a, b]\) 上的反常积分, 仍然记作 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\text{,}\) 即
\begin{equation*} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) \mathrm{d} x . \end{equation*}
这时也称反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛, 如果上述极限不存在, 就称反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.
类似地, 设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b)\) 上连续, 而在点 \(b\) 的左邻域内无界, 取 \(\varepsilon>0\text{,}\)如果极限 \(\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x\) 存在, 则定义
\begin{equation*} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x \end{equation*}
否则, 就称反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.
设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上除点 \(c(a<c<b)\) 外连续, 而在点 \(c\) 的邻域内无界,这时若两个反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x\) 与 \(\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 都收敛,则定义
\begin{equation*} \begin{aligned} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x & =\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x \\ & =\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{a}^{c-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x+\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{c+\varepsilon}^{b} f(x) \mathrm{d} x, \end{aligned} \end{equation*}
否则, 就称反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.

Example 6.5.7.

例 5 证明反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d} x\) 当 \(p<1\) 时收敛, 当 \(p \geqslant 1\) 时发散.
Solution.
证 当 \(p=1\) 时,
\begin{equation*} \begin{aligned} \displaystyle \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d} x & =\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{1}{x-a} \mathrm{~d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{a+\varepsilon}^{b} \frac{1}{x-a} \mathrm{~d} x \\ & =\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\ln (x-a)]_{a+\varepsilon}^{b}=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\ln (b-a)-\ln \varepsilon]=+\infty . \end{aligned} \end{equation*}
当 \(p \neq 1\) 时,
\begin{equation*} \displaystyle \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^{p}} \mathrm{~d} x=\left[\frac{(x-a)^{1-p}}{1-p}\right]_{a}^{b}= \begin{cases}\frac{(b-a)^{1-p}}{1-p}, & p<1 \\ +\infty, & p>1 .\end{cases} \end{equation*}
因此, 当 \(p<1\) 时, 该反常积分收敛, 其值为 \(\frac{(b-a)^{1-p}}{1-p}\text{;}\) 当 \(p \geqslant 1\) 时, 该反常积分发散.

Example 6.5.8.

例 6 计算反常积分 \(\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x\text{.}\)
Solution.
解 函数 \(f(x)=\ln x\) 在 \((0,1]\) 上连续,在点 0 处无界, 取 \(\varepsilon>0\text{,}\) 有
\begin{equation*} \begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x & =\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{\varepsilon}^{1} \ln x \mathrm{~d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[x \ln x-x]_{\varepsilon}^{1} \\ & =\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}(-1-\varepsilon \ln \varepsilon+\varepsilon)=-1 . \end{aligned} \end{equation*}

Example 6.5.9.

例 7 计算反常积分 \(\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x\text{.}\)
Solution.
解 函数 \(f(x)\) 在 \((-1,1)\) 内连续, 在两个端点的邻域内无界. 由定义可得
\begin{equation*} \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\displaystyle \int_{-1}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x+\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x, \end{equation*}
而
\begin{equation*} \begin{gathered} \displaystyle \int_{-1}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{-1+\varepsilon}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \\ =\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[-\arcsin (-1+\varepsilon)]=\frac{\pi}{2}, \\ \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \arcsin (1-\varepsilon)=\frac{\pi}{2}, \end{gathered} \end{equation*}
故
\begin{equation*} \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi . \end{equation*}

Example 6.5.10.

例 8 判断积分 \(\displaystyle \int_{\sqrt{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d} x}{x(1-\ln x)^{\frac{3}{2}}}\) 的敛散性.
Solution.
解 \(x=\mathrm{e}\) 是被积函数的无界点, 所以 \(x=\mathrm{e}\) 处的计算需要求极限
\begin{equation*} \begin{aligned} \displaystyle \int_{\sqrt{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d} x}{x(1-\ln x)^{\frac{3}{2}}} & =\displaystyle \int_{\sqrt{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d} \ln x}{(1-\ln x)^{\frac{3}{2}}}=\left[2(1-\ln x)^{-\frac{1}{2}}\right]_{\sqrt{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \\ & =2 \lim\limits_{x \rightarrow \mathrm{e}^{-}}(1-\ln x)^{-\frac{1}{2}}-2(1-\ln \sqrt{\mathrm{e}})^{-\frac{1}{2}} \\ & =\lim\limits_{x \rightarrow \mathrm{e}^{-}}\left[\frac{2}{(1-\ln x)^{\frac{1}{2}}}\right]-2(1-\ln \sqrt{\mathrm{e}})^{-\frac{1}{2}}=+\infty, \end{aligned} \end{equation*}
所以该反常积分发散.

Example 6.5.11.

例 9 判断积分 \(\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x\) 的敛散性.
Solution.
解 因为 \(x=0\) 是 \(\frac{1}{x}\) 的无界点, 又因为
\begin{equation*} \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\displaystyle \int_{-1}^{0} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x+\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x \end{equation*}
而
\begin{equation*} \displaystyle \int_{-1}^{0} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{-}} \displaystyle \int_{-1}^{\varepsilon} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{-}}[\ln |x|]_{-1}^{\varepsilon}=-\infty, \end{equation*}
且
\begin{equation*} \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \displaystyle \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\ln x]_{\varepsilon}^{1}=+\infty . \end{equation*}
所以该反常积分发散.

Subsection 6.5.3 习题 6-5

  1. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛,计算反常积分的值:
    1. \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{6}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
    2. \(\displaystyle \int_{-1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
    3. \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x \quad(a>0)\text{;}\)
    4. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
    5. \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\text{;}\)
    6. \(\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{1-x^{2}}\text{;}\)
    7. \(\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}}\text{;}\)
    8. \(\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^{2} x}\text{;}\)
    9. \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+\mathrm{e}^{x}}\text{;}\)
    10. \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{x^{6}+x^{3}+1} \mathrm{~d} x\text{;}\)
    11. \(\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1+\ln x}{x \ln ^{3} x} \mathrm{~d} x\text{.}\)
  2. 计算 \(\displaystyle \int_{1}^{3} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{\left|x^{2}-4\right|}}\text{.}\)
  3. 求函数 \(f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x^{2}}(2-t) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t\) 的最大值与最小值.
  4. 判别下列各反常积分的收敛性：
    1. \(\displaystyle \int_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}} \frac{\ln |x-1|}{x-1} \mathrm{~d} x\text{;}\)
    2. \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}} \mathrm{~d} x\text{.}\)
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