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高等数学: 数字教材

T,谭易兰, C

Section 8.8 本 章 小 结

Subsection 8.8.1 主要内容

本章内容可分为七个部分.
(1)数项级数基本概念与性质, 具体包括:
  1. 数项级数及其通项、部分和、余项等相关概念;
  2. 数项级数收敛与发散的定义;
  3. 收敛级数的基本性质;
  4. 数项级数收敛的柯西准则.
(2)正项级数及其审敛法, 具体包括:
  1. 正项级数的概念及性质;
  2. 正项级数的审敛法 (包括比较审敛法、比值审敛法、根式审敛法和积分审敛法).
(3)任意项级数及绝对收敛性, 具体包括:
  1. 交错级数概念及莱布尼茨审敛法;
  2. 绝对收敛与条件收敛的概念及关系;
  3. 绝对收敛级数的性质 (包括项的重排、级数的相乘).
(4)幂级数,具体包括:
  1. 一般函数项级数及其收敛点、收敛域、和函数等概念;
  2. 幂级数的概念, 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域的概念与求法;
  3. 幂级数的代数性质与解析性质.
(5)函数的幂级数展开,具体包括:
  1. 函数可展开成泰勒级数 (包括麦克劳林级数) 的条件;
  2. 函数展开成泰勒级数 (包括麦克劳林级数) 的方法;
  3. 函数幂级数展开式的应用 (包括求极限、近似计算、数项级数求和等);
  4. 欧拉公式.
(6)函数项级数的一致收敛性, 具体包括:
  1. 函数项级数一致收敛的概念;
  2. 函数项级数一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法;
  3. 一致收敛函数项级数的和函数的连续性、可积性、可微性;
  4. 幂级数的一致收敛性.
(7)傅里叶级数, 具体包括:
  1. 三角函数系的正交性及三角函数项级数;
  2. 函数的傅里叶级数及其收敛定理;
  3. 正弦级数与余弦级数;
  4. 一般周期函数的傅里叶级数;
  5. 傅里叶级数的复数形式.

Subsection 8.8.2 基本要求

(1)理解数项级数收敛、发散及部分和的概念, 了解数项级数基本性质及收敛的必要条件.
(2)掌握几个常见数项级数的敛散性, 如几何级数、 \(p\)-级数等.
(3)掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法.
(4)理解交错级数的莱布尼茨定理,会估计交错级数的截断误差.
(5)理解无穷级数绝对收敛和条件收敛的概念, 了解绝对收敛与条件收敛的关系.
(6)理解幂级数收敛域及和函数的概念, 会求幂级数的收敛半径和收敛区间.
(7)了解幂级数及其和函数在收敛区间内的基本性质.
(8)掌握几个典型初等函数( 例如: \(\mathrm{e}^{x}, \sin x, \cos x, \ln (1+x),(1+x)^{\alpha}\) ) 的麦克劳林展开式,并会利用这些展开式将一些简单的函数展开成幂级数.
(9)了解幂级数在近似计算中的应用.
(10)掌握定义在 \([-\pi, \pi]\) 和 \([-l, l]\) 上的函数的傅里叶级数的求法, 并能写出它们的和函数.
(11)会求定义在 \([0, l]\) 上的函数的正弦级数与余弦级数及其和函数.

Subsection 8.8.3 学习指导

本章学习大致分为三部分: 常数项级数、幂级数和傅里叶级数.
(1)常数项级数
常数项级数包括正项级数、交错级数和任意项级数. 判断常数项级数敛散性的主要方法有比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法、积分审敛法、莱布尼茨审敛法、绝对值审敛法等.
用比较审敛法 (包括比较审敛法的极限形式) 对正项级数的敛散性作判别时,需要选取敛散性已知的适当的正项级数与所给级数作比较, 常用的比较级数有几何级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a q^{n-1}\) 、调和级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) 和 \(p\)-级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\text{.}\)
比值审敛法和根值审敛法 (包括比值审敛法和根值审敛法的极限形式) 的特点是由级数本身即可判别其敛散性, 无须另找已知敛散性的其他级数作比较. 当正项级数的一般项 \(u_{n}\) 具有一些因子的乘积或乘幂的形式,如 \(u_{n}\) 中含有 \(n !, n^{k}, n^{n}\text{,}\) \(c^{n}\) 等因子时,可以考虑用比值审敛法或根值审敛法判别敛散性.
判别交错级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}\left(u_{n}>0\right)\) 的敛散性时, 可以考虑采用莱布尼茨审敛法. 此时需要判别数列 \(\left\{u_{n}\right\}\) 是否单调递减并趋于 0 , 在考察 \(\left\{u_{n}\right\}\) 的单调性时常用以下几种方法:
  1. 比值法: 考察 \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) 是否小于 1;
  2. 差值法: 考察 \(u_{n}-u_{n+1}\) 是否大于 0 ;
  3. 求导法: 找出可导函数 \(f(x)\text{,}\) 使 \(u_{n}=f(n)(n=1,2, \cdots)\text{,}\) 考察 \(f^{\prime}(x)\) 是否小于 0 .
注意:
  1. 由于改变级数的有限项不会影响级数的敛散性, 因此判断级数的敛散性时, 可以从级数的某一项 (第 \(N+1\) 项, \(N\) 为正整数) 开始应用审敛法判断.
  2. 只有正项级数才能使用比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法 (包括这几种审敛法的极限形式) 和积分审敛法. 对于一般项级数而言, 也可以用这几种方法判断其绝对收敛性.
(2)幂级数
幂级数是用途广泛的一类函数项级数, 幂级数 \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\) 的收敛区间是以 \(x_{0}\) 为中心的开区间 \(\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)\text{,}\) 其中 \(R\) 是收敛半径. 幂级数的收敛域可能包含收敛区间的端点, 幂级数在收敛区间的端点是否收敛可以用数项级数审敛法进行判断.
幂级数在收敛区间内绝对收敛. 幂级数的和函数在收敛区间内具有连续性和可积性, 且可逐项积分. 幂级数的和函数具有任意阶导数, 且可逐项求导. 逐项积分或逐项求导后得到的新的幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径, 只是在收敛区间的端点可能改变敛散性.
将函数展开为幂级数 (泰勒级数或麦克劳林级数) 可以通过函数的各阶导数直接展开, 也可以考虑根据其他函数的展开式通过四则运算、逐项求导或积分等方法间接展开. 要熟记下面 6 个常用函数的展开式:
\begin{equation*} \mathrm{e}^{x}, \sin x, \cos x, \ln (1+x),(1+x)^{\alpha}, \frac{1}{1-x} \end{equation*}
(3) 傅里叶级数
傅里叶级数是另一类重要的函数项级数. 若函数 \(f(x)\) 是满足狄利克雷充分条件的以 \(2 \pi\) 为周期的周期函数,则其傅里叶级数收敛,且
\begin{equation*} \frac{a_{0}}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right)=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} \end{equation*}
因此, 在 \(f(x)\) 的连续点 \(x\) 处, 其傅里叶级数的和函数就等于 \(f(x)\text{;}\) 在 \(x= \pm \pi\) 处,由函数的周期性可知, 其傅里叶级数的和函数等于 \(\frac{f(\pi-0)+f(-\pi+0)}{2}\text{.}\) 函数 \(f(x)\) 的正弦级数和余弦级数实际上就是 \(f(x)\) 的奇延拓和偶延拓的傅里叶级数. 以 \(2 l\) 为周期的一般周期函数 \(f(x)\) 的傅里叶级数, 由以 \(2 \pi\) 为周期的周期函数 \(f\left(\frac{l}{\pi} t\right)\) 的傅里叶级数获得.

Subsection 8.8.4 自我检测题 8

  1. 求下列级数之和:
    \begin{equation*} \frac{1}{3}+\frac{3}{3^{2}}+\frac{5}{3^{3}}+\cdots+\frac{2 n-1}{3^{n}}+\cdots \end{equation*}
  2. 判别下列级数的敛散性:
    1. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\text{;}\)
    2. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin \left(n \pi+\frac{1}{\ln n}\right)\text{.}\)
  3. 判别下列级数的敛散性:
    \begin{equation*} 1-\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{\alpha}}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{(2 n)^{\alpha}}+\cdots \quad(\alpha>0) . \end{equation*}
    (提示: 须讨论参数 \(\alpha\) 的不同取值情况, 分 \(\alpha=1, \alpha>1\) 及 \(0<\alpha<1\) 三种情况).
  4. 求下列幂级数的收敛半径和收敛域:
    1. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n+1} x^{n-1}\text{;}\)
    2. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x-2)^{2 n+1}}{2 n+1}\text{.}\)
  5. 求幂级数的和函数:
    1. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}\text{;}\)
    2. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(2 n-1)} x^{2 n}\text{.}\)
  6. 将下列函数展开成 \(\left(x-x_{0}\right)\) 的幂级数:
    1. (1) \(f(x)=\frac{1}{x^{2}+7 x+6}, x_{0}=-4\text{;}\)
    2. (2) \(f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}, x_{0}=0\text{.}\)
  7. 将 \(f(x)=2+|x|, x \in(-1,1]\) 展开为以 2 为周期的傅里叶级数, 并由此求级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\)的和.

Subsection 8.8.5 复习 题 8

  1. 判别下列级数的敛散性:
    1. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{\alpha} \cdot \beta^{n}\text{,}\) 其中 \(\alpha\) 为任意实数, \(\beta\) 为非负实数;
    2. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \frac{n+1}{n}\text{;}\)
    3. \(\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}+(-1)^{n}}\text{.}\)
  2. 判别级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2 n^{2}+n\right)^{m}}\) ( \(m\) 为常数) 的敛散性.
  3. 判别级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1 !+2 !+\cdots+n !}{(n+3) !}\) 的敛散性.
  4. 判别下列级数的敛散性:
    1. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\sqrt{n+1}}{n+10}\text{;}\)
    2. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \frac{\sqrt{n+1}}{n}\text{.}\)
  5. 判别下列级数的敛散性, 如果收敛, 是绝对收敛, 还是条件收敛.
    1. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n \alpha}{(\ln 10)^{n}}\text{;}\)
    2. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+(-1)^{n-1}}\text{.}\)
  6. 求下列极限:
    1. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}\text{;}\)
    2. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[2^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{9}} \cdot 8^{\frac{1}{27}} \cdot \cdots \cdot\left(2^{n}\right)^{\frac{1}{3^{n}}}\right]\text{.}\)
  7. 求下列级数的收敛域:
    1. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n}}{a^{\sqrt{n}}} \quad(a>0)\text{;}\)
    2. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sin \frac{1}{2 n}\right)\left(\frac{1+2 x}{2-x}\right)^{n}\text{;}\)
    3. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} x^{n}\text{;}\)
    4. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} x^{2 n}\text{.}\)
  8. 求下列幂级数的和函数:
    1. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n}\text{;}\)
    2. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}\text{;}\)
    3. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(3 n-2) x^{2 n-1}\text{.}\)
  9. 用幂级数法求下列数项级数的和:
    1. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n !}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\text{;}\)
    2. \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n !}\text{.}\)
  10. 将下列函数展开成 \(x\) 的幂级数:
    1. \(\frac{1}{(2-x)^{2}}\text{;}\)
    2. \(\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)}\text{.}\)
  11. \(f(x)\) 是周期为 \(2 \pi\) 的函数, 它在 \([-\pi, \pi)\) 内的表达式为 \(f(x)=\frac{\pi-x}{2}\text{,}\) 把 \(f(x)\) 展开成傅里叶级数.
  12. 将函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leqslant x \leqslant h, \\ 0, & h<x \leqslant \pi\end{array}\right.\) 分别展开成正弦级数和余弦级数.
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