Proposition 6.2.1.
性质 1 函数的和 (差) 的定积分等于它们定积分的和(差). 即
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .
\end{equation*}
Section 6.2 定积分的性质
Subsection 6.2.1 定积分的性质
为了计算及应用方便起见,作如下补充规定： （1）当 \(a=b\) 时, \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0\text{;}\) （2）当 \(a>b\) 时, \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\displaystyle \int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\text{.}\) 下面直接由定积分的定义推出定积分的性质, 下列各性质中积分上下限的大小, 如不特别指明,均不加限制并假定各性质中所列出的定积分都是存在的.
Proof.
\begin{equation*}
\text { 证 } \begin{aligned}
\displaystyle \int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x & =\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^{n}\left[f\left(\xi_{i}\right) \pm g\left(\xi_{i}\right)\right] \Delta x_{i} \\
& =\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \pm \lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^{n} g\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \\
& =\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .
\end{aligned}
\end{equation*}
Proposition 6.2.1 对任意有限个函数也是成立的.
Proposition 6.2.2.
性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面, 即
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \quad(k \text { 是常数 }) .
\end{equation*}
Proof.
证 \(\displaystyle \int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^{n} k f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}=k \lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}=k \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\text{.}\)
由Proposition 6.2.1 和Proposition 6.2.2 可推出定积分的线性性质,即
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \displaystyle \int_{a}^{b}\left[k_{1} f_{1}(x) \pm k_{2} f_{2}(x) \pm \cdots \pm k_{n} f_{n}(x)\right] \mathrm{d} x \\
= & k_{1} \displaystyle \int_{a}^{b} f_{1}(x) \mathrm{d} x \pm k_{2} \displaystyle \int_{a}^{b} f_{2}(x) \mathrm{d} x \pm \cdots \pm k_{n} \displaystyle \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x .
\end{aligned}
\end{equation*}
Proposition 6.2.3.
性质 3(区间可加性) 如果将积分区间分成两部分, 那么在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和, 设 \(a<c<b\text{,}\)则
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x .
\end{equation*}
Proof.
证 因为函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积,所以不论把 \([a, b]\) 怎样分割, 和式的极限总是存在的,因此分割时把 \(c\) 始终作为一个分点. 那么和式分为两部分：
\begin{equation*}
\sum\limits_{[a, b]} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}=\sum\limits_{[a, c]} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}+\sum\limits_{[c, b]} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} .
\end{equation*}
令 \(\lambda \rightarrow 0\text{,}\) 上式两端同时取极限, 即得
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x .
\end{equation*}
按定积分的补充规定有, 不论 \(a, b, c\) 的相对位置如何, 总有等式
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
成立. 例如, 当 \(a<b<c\) 时, 由于 \(\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{b}^{c} f(x) \mathrm{d} x\text{,}\) 故
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x-\displaystyle \int_{b}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x .
\end{equation*}
Corollary 6.2.4.
推论 1 若函数 \(f(x)\) 在 \([\alpha, \beta]\) 上可积, 且 \(a, b, c\) 是 \([\alpha, \beta]\) 上的任意三点, 则
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
Corollary 6.2.5.
推论 2 若函数 \(f(x)\) 在 \(\left[c_{0}, c_{n}\right], \cdots,\left[c_{i-1}, c_{i}\right](i=1,2, \cdots, n)\) 上都可积,则
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{c_{0}}^{c_{n}} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{c_{0}}^{c_{1}} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) \mathrm{d} x+\cdots+\displaystyle \int_{c_{n-1}}^{c_{n}} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
\end{equation*}
Proposition 6.2.6.
性质 4 若在 \([a, b]\) 上, \(f(x) \equiv 1\text{,}\) 则 \(\displaystyle \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x=b-a\text{.}\)
Proof.
这个性质的证明留给读者自己完成.
Proposition 6.2.7.
性质 5 若在 \([a, b]\) 上, 有 \(f(x) \geqslant g(x)\text{,}\) 则 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x\text{.}\)
Proof.
证
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x & =\displaystyle \int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x \\
& =\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^{n}\left[f\left(\xi_{i}\right)-g\left(\xi_{i}\right)\right] \Delta x_{i},
\end{aligned}
\end{equation*}
因为对任意 \(\xi_{i} \in[a, b], f\left(\xi_{i}\right) \geqslant g\left(\xi_{i}\right), \Delta x_{i}>0\text{,}\) 则和式非负, 从而有
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
Corollary 6.2.8.
推论 1 若在区间 \([a, b]\) 上, \(f(x) \geqslant 0\text{,}\) 则 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0 \quad(a<b)\text{.}\)
Corollary 6.2.9.
推论 \(2\left|\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x \quad(a<b)\text{.}\)
Proof.
\begin{equation*}
-\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\left|\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x
\end{equation*}
注 \(|f(x)|\) 在 \([a, b]\) 上的可积性, 可由 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的可积性推出, 这里不作证明.
Proposition 6.2.10.
性质 6 设 \(M\) 及 \(m\) 分别是函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的最大值及最小值,则
\begin{equation*}
m(b-a) \leqslant \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant M(b-a) .
\end{equation*}
Proof.
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} m \mathrm{~d} x \leqslant \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle \int_{a}^{b} M \mathrm{~d} x .
\end{equation*}
而
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} M \mathrm{~d} x=M \displaystyle \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x=M(b-a) .
\end{equation*}
同理
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} m \mathrm{~d} x=m(b-a)
\end{equation*}
故
\begin{equation*}
m(b-a) \leqslant \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant M(b-a)
\end{equation*}
这个性质称为定积分的估值不等式,它表明可由被积函数在积分区间上的最大值及最小值估计积分值的大致范围.
Proposition 6.2.11.
性质 7 如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续,那么在 \([a, b]\) 上至少存在一点 \(\xi\text{,}\) 使
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a) \quad(a \leqslant \xi \leqslant b) .
\end{equation*}
这个公式称为积分中值公式.
Proof.
证 因为 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续,所以在 \([a, b]\) 上可积, 且有最小值 \(m\) 与最大值 \(M\text{,}\) 由Proposition 6.2.10 得
\begin{equation*}
m(b-a) \leqslant \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant M(b-a),
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
m \leqslant \frac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant M .
\end{equation*}
根据闭区间上连续函数的介值定理, 在区间 \([a, b]\) 上至少有一点 \(\xi(a \leqslant \xi \leqslant b)\text{,}\)使
\begin{equation*}
f(\xi)=\frac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a) .
\end{equation*}
不论 \(a, b\) 的大小关系,积分中值公式总成立. 若 \(a>b\text{,}\)则在区间 \([b, a]\) 上有
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)(b \leqslant \xi \leqslant a) .
\end{equation*}
积分中值定理中的 \(f(\xi)\text{,}\) 即 \(\frac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的平均值.
几何意义: 对于以区间 \([a, b]\) 为底边的曲边梯形,它的面积等于同一底边,而 高为曲边上某一点 \(\xi\) 的纵坐标的 \(f(\xi)\) 矩形面积 (见图 6-3).
Example 6.2.12.
例 1 比较积分 \(\displaystyle \int_{1}^{2} x^{2} \mathrm{~d} x\) 与 \(\displaystyle \int_{1}^{2} x^{3} \mathrm{~d} x\) 的大小.
Solution.
解 因为在 \([1,2]\) 上, 有 \(x^{2} \leqslant x^{3}\text{.}\) 由Proposition 6.2.7 知: \(\displaystyle \int_{1}^{2} x^{2} \mathrm{~d} x \leqslant \displaystyle \int_{1}^{2} x^{3} \mathrm{~d} x\text{.}\)
Example 6.2.13.
例 2 证明 \(\frac{2}{\sqrt[4]{\mathrm{e}}} \leqslant \displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{e}^{x^{2}-x} \mathrm{~d} x \leqslant 2 \mathrm{e}^{2}\text{.}\)
Solution.
证 因为被积函数 \(f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-x}\) 在 \([0,2]\) 上最小值和最大值分别为 \(\frac{1}{\sqrt[4]{\mathrm{e}}}\) 与 \(\mathrm{e}^{2}\text{,}\) 即
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt[4]{\mathrm{e}}} \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{e}^{2}, x \in[0,2] .
\end{equation*}
由Proposition 6.2.10 , 得
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt[4]{\mathrm{e}}}(2-0) \leqslant \displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{e}^{x^{2}-x} \mathrm{~d} x \leqslant \mathrm{e}^{2}(2-0)
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
\frac{2}{\sqrt[4]{\mathrm{e}}} \leqslant \displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{e}^{x^{2}-x} \mathrm{~d} x \leqslant 2 \mathrm{e}^{2}
\end{equation*}
Example 6.2.14.
例 3 利用积分性质,估计积分 \(\displaystyle \int_{0}^{3} \sqrt{4+x^{2}} \mathrm{~d} x\) 的值.
Solution.
解 令 \(f(x)=\sqrt{4+x^{2}}\text{,}\) 有 \(f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}\text{.}\) 在区间 \([0,3]\) 上 \(f^{\prime}(x) \geqslant 0\text{,}\) 所以 \(f(x)\) 在 \([0,3]\) 单调增加, 其最小值 \(m=f(0)=2\text{,}\) 最大值 \(M=f(3)=\sqrt{13}\text{.}\) 于是由Proposition 6.2.10 得
\begin{equation*}
m(3-0) \leqslant \displaystyle \int_{0}^{3} \sqrt{4+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant M(3-0),
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
6 \leqslant \displaystyle \int_{0}^{3} \sqrt{4+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant 3 \sqrt{13} .
\end{equation*}
Example 6.2.15.
例 4 设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续, 若 \(f(x) \geqslant 0\text{,}\) 且 \(f(x) \neq 0\text{,}\) 则 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0\text{.}\)
Solution.
证 由 \(f(x) \neq \equiv 0\) 知, 必存在一点 \(x_{0} \in[a, b]\text{,}\) 使 \(f\left(x_{0}\right)>0\text{,}\) 再由 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续, 可知对于 \(\varepsilon=\frac{f\left(x_{0}\right)}{2}>0\text{,}\) 存在 \(\delta>0\text{,}\) 当 \(x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right) \subset[a, b]\) (若 \(x_{0}=b\text{,}\) 当 \(\left.x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right) \subset[a, b]\right)\) 时, 有
\begin{equation*}
f(x)>f\left(x_{0}\right)-\varepsilon=\frac{f\left(x_{0}\right)}{2}>0 .
\end{equation*}
由Proposition 6.2.3 , 得
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x & =\displaystyle \int_{a}^{x_{0}} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{x_{0}}^{x_{0}+\delta} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{x_{0}+\delta}^{b} f(x) \mathrm{d} x \\
& \geqslant \displaystyle \int_{x_{0}}^{x_{0}+\delta} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \displaystyle \int_{x_{0}}^{x_{0}+\delta} \frac{f\left(x_{0}\right)}{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} f\left(x_{0}\right) \delta>0 .
\end{aligned}
\end{equation*}
Subsection 6.2.2 习题 6-2
-
写出下列各式的结果 (假定下列各题中的函数 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内是连续的):
- \(\displaystyle \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{3}^{1} f(t) \mathrm{d} t\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{3}^{2} f(u) \mathrm{d} u+\displaystyle \int_{1}^{2} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{2}^{-1} f(u) \mathrm{d} u+\displaystyle \int_{-1}^{3} f(t) \mathrm{d} t\text{.}\)
-
比较下列各对积分的大小:
- \(\displaystyle \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x\) 与 \(\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \mathrm{~d} x\) 与 \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d} x\) 与 \(\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{1}^{2} x \mathrm{~d} x\) 与 \(\displaystyle \int_{1}^{2} x^{4} \mathrm{~d} x\text{.}\)
-
估计下列各积分的值:
- \(\displaystyle \int_{1}^{4}\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4} \pi}\left(1+\sin ^{2} x\right) \mathrm{d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{0}^{-2} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{3}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin ^{2} x}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x\text{.}\)
- 用定积分表示曲线 \(y=f(x)=x(x-1)(2-x)\) 与 \(x\) 轴所围封闭图形的面积.
- 证明不等式 \(\frac{1}{2} \leqslant \displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}\)
