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高等数学: 数字教材

T,谭易兰, C

Section 1.4 本章小结

Subsection 1.4.1 主要内容

本章内容可分为三个部分.
  1. 函数, 具体包括:
    1. 函数的基本概念;
    2. 初等函数;
    3. 映射.
  2. 极限, 具体包括:
    1. 数列的极限;
    2. 函数的极限;
    3. 极限存在准则、两个重要极限;
    4. 无穷小与无穷大.
  3. 连续,具体包括:
    1. 连续的概念;
    2. 连续函数的运算;
    3. 闭区间上连续函数的性质;
    4. 一致连续的概念.
Figure 1.4.1. 第一章知识图谱

Subsection 1.4.2 基本要求

通过本章内容的学习, 应达到以下目标和要求:
  1. 理解函数的概念及性质.
  2. 理解复合函数、反函数的概念.
  3. 掌握基本初等函数的性质及其图形.
  4. 理解极限的 \(\varepsilon-N, \varepsilon-\delta\) 定义.
  5. 掌握极限的四则运算法则.
  6. 掌握极限存在准则 (夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。
  7. 理解无穷小、无穷大的概念, 会用等价无穷小替换方法解题 (如求极限).
  8. 理解函数连续的概念、间断点的概念, 并会判别间断点的类型.
  9. 掌握初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质.

Subsection 1.4.3 3. 学习指导

本章内容是高等数学的基础, 第一部分函数的相关内容对许多同学来说是比较熟悉的, 也是相对容易理解和掌握的, 第二部分极限的概念与计算以及第三部分函数连续的概念与性质是本章的重点内容, 其中用抽象的 \(\varepsilon-N, \varepsilon-\delta\) 语言对各类极限定义的概括与表达, 既体现了现代分析语言的精妙之处,也是难点内容. 对于这个难点, 可以通过用定义证明极限的存在性来理解. 用定义证明极限存在的关键是理解定义中 \(\varepsilon\) 的任意性和 \(N(\delta)\) 的存在性. 特别要说明的是, 存在性是通过给出一个具体的 \(N\) 值来体现的. 以数列极限为例, 通常利用 \(\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon\) 来寻找所需要的 \(N\) 值, 在此过程中,需要将不等式放大以简化寻找 \(N\) 值的过程. 不等式的简化及求解方法不同, \(N\) 值就可能不同, 只要找出其中一个就够了. 连续是函数的基本性质, 也是极限作为基本工具和语言刻画与描述的第一个概念, 通过函数连续的定义、函数在一点连续的充要条件、间断点的类型等概念的学习,可进一步熟悉极限的概念及性质. 闭区间上连续函数的性质可以通过函数的几何形态加以理解, 其严格证明因为涉及更多的实数理论, 所以在本课程中不做要求.

Subsection 1.4.4 自我检测题 1

  1. 求下列函数的定义域:
    1. \(y=\frac{\sqrt{x^{2}-3 x-10}}{x-8}\text{;}\)
    2. \(y=\ln \frac{x-2}{3-x}\text{;}\)
    3. \(y=\arccos \frac{2 x}{x^{2}+1}\text{;}\)
    4. \(y=\sqrt{\sin x}+\sqrt{16-x^{2}}\text{.}\)
  2. 已知 \(f(x)=a x^{2}+b x+c\text{,}\) 且 \(f(0)=-3, f(1)=0, f(-1)=-4\text{,}\) 求常数 \(a, b, c\) 及 \(f(2)\text{.}\)
  3. 求下列极限:
    1. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[n\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n^{2}-2}\right)\right]\text{;}\)
    2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 3}[(x-3) \csc \pi x]\text{;}\)
    3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x \ln (1+x)}\text{;}\)
    4. \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\sin x-\sin x_{0}}{\mathrm{e}^{x-x_{0}}-1}\text{.}\)
  4. 指出下列函数的间断点及其类型:
    1. \(y=\frac{x}{\sin x}\text{;}\)
    2. \(\displaystyle y= \begin{cases}x, & 0<x \leqslant 1, \\ 2 x+a, & 1<x<3, \\ b-x, & x \geqslant 3 .\end{cases}\)
  5. 设 \(f(x)= \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x<0, \\ a, & x=0, \text { 问: (1) } a, b \text { 为何值时 } \lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) \text { 存在? (2) } a, b \text { 为何值时 } \\ x \sin \frac{1}{x}+b, & x>0,\end{cases}\) \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续?
  6. 将长为 \(l\) 的铁丝截成两段,一段弯成圆, 另一段弯成正方形, 若设正方形的边长为 \(x\text{,}\) 圆与正方形的面积之和为 \(y\text{,}\)试将 \(y\) 表示成 \(x\) 的函数,并指出定义域.
  7. 设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续,试证 : 至少存在一点 \(\xi \in[a, b]\text{,}\) 使 \(f(\xi)=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)]\) (其中 \(b>a\) ).

Subsection 1.4.5 复习题 1

  1. 试说明狄利克雷 (Dirichlet) 函数 \(D(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in \mathbf{Q}, \\ 0, x \notin \mathbf{Q}\end{array}\right.\) 是偶函数, 且为周期函数,任一非零有理数 \(r\) 都是它的周期 (故没有最小正周期).
  2. 求下列函数的反函数:
    1. \(y=\arcsin \left(3^{x-1}-2\right)\text{;}\)
    2. \(\displaystyle y= \begin{cases}\mathrm{e}^x, & x \geqslant 0, \\ x+1, & x<0 .\end{cases}\)
  3. 设 \(f(x)\) 是偶函数, 且在 \([0,+\infty)\) 内单调增加, 解方程 \(f(x)=f\left(\frac{24}{x+10}\right)\text{.}\)
  4. 设函数 \(y=f(x)\) 为奇函数, 当 \(x>0\) 时, \(f(x)=x(1-x)\text{,}\) 求 \(x<0\) 时的 \(f(x)\text{.}\)
  5. 求下列极限:
    1. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^n+b^n} \quad(0<a<b)\text{;}\)
    2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{\mathrm{e}^x-\cos x}\text{;}\)
    3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}(\cos \sqrt{x})^{\frac{\pi}{x}}\text{;}\)
    4. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^x\right)-\cos \left(x \mathrm{e}^{-x}\right)}{x^3}\text{;}\)
    5. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0}\left(x+\mathrm{e}^x\right)^{\frac{2}{x}}\text{;}\)
    6. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0}\left(2 \mathrm{e}^{\frac{x}{x+1}}-1\right)^{\frac{x^2+1}{x}}\text{.}\)
  6. 求下列极限:
    1. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{8} \cdot \cdots \cdot \cos \frac{x}{2^n}\right)\text{;}\)
    2. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^2 \pi\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\text{;}\)
    3. 设 \(x_n=\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots+\sqrt{6}}}\left(n\right.\) 个根号), 求 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n\text{;}\)
    4. 设 \(x_n=\left(\frac{\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}+\cdots+\sqrt[n]{a_m}}{m}\right)^n\text{,}\) 其中 \(a_1, a_2, \cdots, a_m\) 均为正数, 求 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n\text{.}\)
  7. 判断下列函数间断点的类型:
    1. \(y=\sqrt[3]{\frac{1-\cos \pi x}{4-x^2}}\text{;}\)
    2. \(y=\mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}}\text{;}\)
    3. \(y=\cos ^2 \frac{1}{x}\text{;}\)
    4. \(y=\frac{x^2-x}{|x|\left(x^2-1\right)}\text{.}\)
  8. 设函数 \(f(x)\) 对一切 \(x_1, x_2\text{,}\) 满足等式 \(f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right) \cdot f\left(x_2\right)\text{,}\) 且 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 点连续, 证明: \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上连续.
  9. 证明三次方程 \(x^3-3 x^2+1=0\) 有 3 个实根.
  10. 设函数 \(f(x)\) 在 \([0,2 a](a>0)\) 连续, 且 \(f(2 a)=f(0)\text{,}\) 证明: 至少存在一点 \(\xi \in[0, a]\text{,}\) 使得 \(f(\xi)=f(\xi+a)\text{.}\)
  11. 用定义证明下列极限:
    1. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{3 n^3+n+1}{n^3-n^2+1}=3\text{;}\)
    2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} \sqrt{x}=\sqrt{3}\text{.}\)

Subsection 1.4.6 数智化测试题

当你学完本章, 我们为你准备了一套数智化测试题. 它的功能如下.
通过数智化练习题, 你对自己的学习情况有所了解. 对你学习中遇到的困难,系统会自动反馈给任课老师.
数智化测试题.
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