Example 2.5.1.
例 1 一气球从离开观察员 \(500 \mathrm{~m}\) 处离地面铅直上升, 当气球高度为 \(500 \mathrm{~m}\) 时,其速率为 \(140 \mathrm{~m} / \mathrm{min}\text{,}\) 求此时观察员视线的仰角增加的速率.
Solution.
解 (1) 命名相关变量:
\(\alpha\) : 观察员视线的仰角 (以 \(\mathrm{rad}\) 为单位);
\(h\) :气球的高度 (以 \(\mathrm{m}\) 为单位);
\(t\) : 表示时间 (以 \(\min\) 为单位), 并且假定 \(\alpha\) 和 \(h\) 是 \(t\) 的可导函数.
(2)写出表示变量关系的方程: \(\tan \alpha=\frac{h}{500}\text{.}\)
(3)方程两边同时对 \(t\) 求导,得到两个变化率之间的代数方程: \(\sec ^{2} \alpha \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{500} \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{~d} t}\text{;}\)
(4)由已知变化率求未知变化率:
由已知条件知, 存在 \(t_{0}\) 使 \(\left.h\right|_{t=t_{0}}=500 \mathrm{~m},\left.\frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=t_{0}}=140 \mathrm{~m} / \mathrm{min}\text{.}\)
又 \(\left.\tan \alpha\right|_{t=t_{0}}=1,\left.\sec ^{2} \alpha\right|_{t=t_{0}}=2\text{,}\) 代人上式,得
\begin{equation*}
\left.2 \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}\right|_{t=t_{0}}=\frac{1}{500} \times 140
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
\left.\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t}\right|_{t=t_{0}}=\frac{70}{500}=0.14 \mathrm{rad} / \mathrm{min}
\end{equation*}
此时观察员视线的仰角增加的速率为 \(0.14 \mathrm{rad} / \mathrm{min}\text{.}\)
