Project 4.8.1. 捕食者-猎物模型.
2020年1月1日起，我国宣布长江十年禁渔计划。仅仅3年后，禁渔成效显著，三峡大坝下出现巨型鱼群，几十斤鲢鳙随处可见。于是，有人提出: 提前结束禁渔期。下面我们就用数学知识来解释禁渔成效显著这一现象，并尝试回答: 我们没有必要干预鱼群数量。
(a) Lotka-Volterra 模型.
最经典的捕食者-猎物模型是 Lotka-Volterra 模型，它包含两个微分方程：
\begin{align}
dH/dt \amp =rH-aHP \tag{4.8.1}\\
dP/dt \amp=-bP+cHP \tag{4.8.2}
\end{align}
其中，
- \(H\)代表猎物种群数量.
- \(P\) 代表捕食者种群数量
- \(t\) 代表时间
- \(r\) 代表猎物的内禀增长率
- \(a\) 代表捕食者捕食猎物的效率
- \(b\) 代表捕食者的死亡率
- \(c\) 代表捕食者从猎物中获得的能量转化效率
讨论:- 猎物种群数量变化由哪些条件决定.
1
猎物种群数量的增长速度由其内禀增长率\(r\)决定，但会受到捕食者捕食的影响\((-aHP)\) - 捕食者种群数量变化由哪些条件决定?
2
捕食者种群数量的增长速度取决于捕食者从猎物中获得的能量\((cHP)\)，但会受到捕食者自身的死亡率\((-bP)\)影响。
(b) 模型平衡点.
确定模型平衡点对于理解系统动态变化，预测系统稳定性，制定管理策略，评估系统对扰动的敏感性，以及比较不同模型都具有重要意义。
平衡点是指捕食者和猎物种群数量达到稳定状态，不再发生变化的点.
讨论： 在 Lotka-Volterra 模型中，如何求模型平衡点？模型平衡点为满足: \(dH/dt = 0\) 和 \(dP/dt = 0\)的
非平凡平衡点代表捕食者和猎物种群数量之间的一种动态平衡。在该平衡点，捕食者数量足够多以控制猎物数量，但猎物数量也足够多以维持捕食者数量。
