高等数学: 数字教材

观察自然与社会现象时会遇见各种不同的量, 其中有些量在所考察过程中保持不变,这种量称为常量; 另一些量在所考察过程中发生变化, 取不同的值, 这种量称为变量. 通常以 \(a, b, c\) 等表示常量, 用 \(x, y, z\) 等表示变量. 在同一过程中往往有几个变量相互联系、相互影响地变化着,遵循着一定的客观规律, 如果能用数学方式精确地描述出这些变化的因果关系, 就能把握事物的发展趋势,函数就是变量变化关系最基本的数学描述.

在上面的例子中,如果对各个变量的具体意义进行抽象, 则可以看见其具有共同点: 含有两个变量, 不妨叫做 \(x\) 和 \(y\text{;}\) 当一个变量 (例如 \(x\) ) 在某一个范围内每取定一值时, 另一个变量 (例如 \(y\) ) 按照某个法则有确定的值与之对应.

除了用一个数学式子表示函数外, 有些函数随着自变量取不同的值, 函数关系也不同, 这种函数称为分段函数.

用数学公式表示函数的方法称为函数的解析表示法. 除了解析表示法外, 函数有时也可用表格法(如三角函数表、对数表等)与图形法(如气温图、心电图)等方式表示. 在函数定义中,对于定义域 \(D\) 内任一点 \(x\text{,}\) 若按照对应法则 \(f, y\) 只有唯一确 定的值与之对应,则称 \(y=f(x)\) 为 \(x\) 的单值函数; 若 \(y\) 有两个或两个以上的值与之对应,则称 \(y=f(x)\) 为 \(x\) 的多值函数. 对于多值函数, 通常可以限制 \(y\) 的取值范围使之成为单值函数. 例如, 由 \(x^{2}+y^{2}=1\) 所表示的函数 \(y= \pm \sqrt{1-x^{2}}\) 和反三角函数 \(y=\arcsin x\)都是多值函数. 对于 \(y= \pm \sqrt{1-x^{2}}\text{,}\) 若限制 \(y \geqslant 0\text{,}\) 则有 \(y=\sqrt{1-x^{2}}\text{;}\) 若限制 \(y \leqslant 0\text{,}\)则有 \(y=-\sqrt{1-x^{2}}\text{.}\) 此时它们都是 \(x\) 的单值函数,称它们是由 \(x^{2}+y^{2}=1\) 所表示的函数的两个单值分支. 而对于函数 \(y=\arcsin x\text{,}\) 任取 \(-x \in[-1,1]\text{,}\) 则有无穷多个 \(y\) 值与之对应. 若限制 \(-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}\text{,}\) 则 \(y=\arcsin x\) 就是一个单值函数, 称为 \(y=\arcsin x\) 的主值或主值分支. 其他反三角函数也有类似的情况. 今后要讨论的函数, 如果没有特别的说明, 指的都是单值函数.

如果 \(x=\varphi(y)\) 是 \(y=f(x)\) 的反函数, 那么 \(y=f(x)\) 也是 \(x=\varphi(y)\) 的反函数, 因此, \(y=f(x)\) 与 \(x=\varphi(y)\) 互为反函数. 习惯上,用 \(x\) 表示自变量, 用 \(y\) 表示函数. 因此, 反函数 \(x=\varphi(y)\) 可记作 \(y=\varphi(x)\text{,}\)有时也记为 \(y=f^{-1}(x)\text{.}\) 在求反函数时, 通常就是指求这种习惯上的反函数. 按照上面的定义,虽然 \(y=f(x)\) 是单值函数, 但反函数 \(x=\varphi(y)\) 不一定存在.例如, \(y=x^{2}\) 的定义域 \(D=(-\infty,+\infty)\text{,}\) 值域 \(W=[0,+\infty)\text{.}\) 当 \(y \in W\) 时, 有两个 \(x\) 与之对应, 即 \(x= \pm \sqrt{y}\text{.}\) 因此, \(y=f(x)=x^{2}\) 的反函数不存在. 但是, 对于 \(y=x^{2}\text{,}\) \(x \in[0,+\infty)\text{,}\) 函数 \(y\) 在 \([0,+\infty)\) 上是单值且单调增加, 其反函数 \(x=\sqrt{y}\) 在 \([0,+\infty)\) 上也是单值且单调增加. 一般地, 如果在区间 \(D\) 上定义的函数 \(y=f(x)\) 是单值单调的, 那么其反函数 \(x=\varphi(y)\) 在 \(W=\{y \mid y=f(x), x \in D\}\) 上也是单值单调的，且单调性相同. 事实上,若函数 \(y=f(x)\) 在区间 \(D\) 上单值并且单调增加, 则任取 \(y_{1}, y_{2} \in W(f)\text{,}\)且 \(y_{1}<y_{2}\text{,}\) 按 \(f\) 的定义存在 \(x_{1}, x_{2} \in D\text{,}\) 使 \(\varphi\left(y_{1}\right)=x_{1}, \varphi\left(y_{2}\right)=x_{2}\text{.}\) 若 \(x_{1}>x_{2}\text{,}\) 则由 \(y=f(x)\) 单调增加, 必有 \(y_{1}>y_{2}\text{;}\) 若 \(x_{1}=x_{2}\text{,}\) 则显然有 \(y_{1}=y_{2}\text{.}\)这两种情形都与假设 \(y_{1}<y_{2}\) 矛盾, 故必有 \(x_{1}<x_{2}\text{.}\) 即反函数 \(x=f^{-1}(y)=\varphi(y)\)在 \(W(f)\) 上也单调增加. 单调减少的情况同理可证. 现在来看当 \(y=f(x)\) 为单值单调函数时, 函数 \(y=f(x)\) 与它的反函数 \(y=\) \(\varphi(x)\) 的图形有何关系. 因为 \(y=f(x)\) 与 \(x=\varphi(y)\) 是变量 \(x\) 与 \(y\) 的同一个方程, 所以在 \(x O y\) 平面内它们有同一个图形 (见图 1-11a). 把反函数 \(x=\varphi(y)\) 记为 \(y=\varphi(x)\) 后, 不难看出, 在同一坐标平面内, \(y=f(x)\)与 \(y=\varphi(x)\) 的图形是关于直线 \(y=x\) 对称的 (见图 1-11b).

事实上,设 \(P(a, b)\) 为 \(y=f(x)\) 图形上的任一点,如图 1-11b 所示, \(b=f(a)\text{,}\) \(a=\varphi(b)\text{.}\) 即反函数 \(y=\varphi(x)\) 的图形上必有一点 \(Q(b, a)\) 与 \(P(a, b)\) 对应, 而 \(P\) 与 \(Q\)关于直线 \(y=x\) 对称. 同样, 对于反函数 \(y=\varphi(x)\) 图形上任一点也必有函数 \(y=\) \(f(x)\) 图形上的一点与之对应,而且这两点也关于直线 \(y=x\) 对称. 因此, 由 \(y=f(x)\) 的图形容易作出它的反函数 \(y=\varphi(x)\) 的图形.

因为函数 \(y=\sqrt{1-u}\) 的定义域为 \(D(f)=(-\infty, 1]\text{,}\) 而函数 \(u=x^{2}+2\) 的值域为 \(W(\varphi)=[2,+\infty)\text{,}\) 因此 \(D(f) \cap W(\varphi)=\varnothing\text{.}\) 所以函数 \(y=\sqrt{1-u}\) 与 \(u=x^{2}+2\)不能构成复合函数.

复合函数也可以由多个函数复合而成. 例如, 由 \(y=\cos ^{2} u, u=t^{3}, t=\mathrm{e}^{x}\text{,}\) 则可以得到 \(y=\cos ^{2}\left(\mathrm{e}^{3 x}\right)\text{.}\) 实际上, 对于一个给定的复合函数, 真正关注的是要搞清楚它是由哪些简单的函数、经过哪些层次复合起来的. 例如, \(y=\sqrt{\ln \tan ^{2} x}\) 是由 \(y=\sqrt{u}, u=\ln v, v=w^{2}, w=\tan x\) 等 4 个简单函数复合而成的; \(y=\cos \sqrt{1+\mathrm{e}^{x^{2}}}\) 是由 \(y=\cos u, u=\sqrt{v}, v=1+w, w=\mathrm{e}^{t}, t=x^{2}\) 等 5 个简单函数复合而成的.

以上几类函数称为基本初等函数. 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所得到的并且能用一个数学式子表示的函数称为初等函数.

例如 , \(y=\sin ^{2}(3 x+1)\text{,}\) \(y=\sqrt{1-(\ln \cos x)^{2}}\text{,}\) \(y=\frac{\lg x+\sqrt[3]{x}+2 \tan x}{10^{x}-x+1}\) 等都是初等函数. 但是，一般的分段函数不是初等函数. 如Example 1.1.5 与Example 1.1.6 中的符号函数和取整函数都不是初等函数。

函数是一种特殊的映射,下面介绍映射的概念.

例如, \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\text{,}\) 对任一 \(x \in \mathbf{R}, f(x)=x^{2}\) 是一个映射, 但不是单射, 也不是满射,其值域 \(W(f)=f(\mathbf{R})=\{y \mid y \geqslant 0\}\) 是 \(\mathbf{R}\) 的一个真子集; 而 \(f: \mathbf{R} \rightarrow Y, Y=\{y|| y \mid \leqslant 1\}\text{,}\) 对任一 \(x \in \mathbf{R}, y=f(x)=\sin x\) 是一个满射, 但不是单射, 对任一 \(y \in W(f)=Y\text{,}\) 在 \(D(f)=\mathbf{R}\) 中有很多个原像, 如 \(y=0\text{,}\) 有原像 \(x=k \pi, k \in \mathbf{Z} ;\) 再如 , \(f:[1,4] \rightarrow[1,2], y=f(x)=\sqrt{x}\) 是一个一一映射（双射）.

对任一 \(y \in W(f)\text{,}\) 规定 \(g(y)=f^{-1}(y)=x\text{.}\) 由此可见, \(f^{-1}\) 的定义域 \(D\left(f^{-1}\right)=W(f)\text{,}\) 值域 \(W\left(f^{-1}\right)=X\text{,}\) 故只有单射 \(f\) 才存在逆映射。 例如 \(, f:[0, \pi] \rightarrow[-1,1], y=f(x)=\cos x\) 存在逆映射 \(x=f^{-1}(y)=\arccos y\text{.}\)

应当注意，上述复合映射概念中，只有当 \(Y_{1} \subset Y_{2}\text{,}\) 即 \(W(g) \subset D(f)\) 中时才能复合.