Project 1.5.1. 环境科学中的几个数学模型.
习近平主席曾经指出：“青山绿水就是金山银山”，强调了环境保护对于可持续发展的重要性。在本节, 我们将介绍几个环境科学中几个基本的数学模型。我们先从它们各自的函数图像入手，以直观地理解其意义和应用。在后面章节的项目式练习中在深入探讨这些模型.
(a) 指数衰减模型(Exponential Decay Model).
指数衰减模型是一种用于描述某种量随时间而减少的数学模型，它在环境科学中经常被用来模拟污染物的降解、放射性物质的衰变，或者资源的消耗等情况。
该模型的基本形式是:
\begin{equation*}
C(t)=C_0\cdot e^{-kt}
\end{equation*}
这里的变量含义如下:
- \(C(t)\) : 表示时间 \(t\) 时刻的物质的量;
- \(C_0\) : 是初始时刻物质的量, 即 \(t=0\) 时的量;
- \(k\) : 是一个正的常数, 代表衰减率, 它决定了衰减的速度有多快;
- \(e\) : 是自然对数的底数, 大约等于 2.71828.
Example 1.5.1.
假设有一种污染物, 它在自然环境中会逐渐降解消失。如果我们知道这种污染物的初始浓度是 \(C_0=100\) 单位, 以及它的衰减率 \(k=0.1\)(每天), 请用指数衰减模型和SageMath来计算\(t=1, 10, \) 和\(50\)天时的浓度。
Solution.
动手查资料.
调查日本福岛核污水排海数据(建议使用中国知网). 并从中国标准来解释为什么福岛核废水的氚浓度超标. 请用指数衰减模型计算何时福岛核污水达到我国标准.
我们下面通过SageMath交互, 看一看衰减率对污染物衰变的影响.
讨论.
解释当\(t\rightarrow \infty\)时\(C(t)\)的现实意义.
(b) 逻辑斯蒂生长模型(Logistic Growth Model).
逻辑斯蒂生长模型是一个描述有限资源环境下生物种群增长的模型。它考虑了种群生长中环境承载力的限制。 逻辑斯蒂生长模型可以由以下微分方程表示：
\begin{equation*}
\frac{dP}{dt} = rP \left(1 - \frac{P}{K}\right)
\end{equation*}
- \(P\) 表示时间 \(t\) 时的种群大小;
- \(\frac{dP}{dt}\) 表示种群大小随时间变化的速率;
- \(r\) 是种群的固有增长率;
- \(K\) 是环境的承载力.
逻辑斯蒂生长模型用微分方程来描述. 在此我们承认\(P(t)=\frac{K}{1+\frac{K-N}{N} e^{-r t}}\)是逻辑斯蒂生长模型的解, 这里\(N=P(0).\) 在此, 我们首先利用SageMath得到它的函数图像, 并求出\(P(2)\text{.}\)
在下一章, 利用导数的性质, 我们设计算法, 估计函数值\(P(2)\text{.}\) 也就是说, 在无法求得逻辑斯蒂生长模型的解的情况下, 如何有效的估计\(P(2)\)的值.
思考题.
当\(t\rightarrow \infty\)时的该问题的实际意义是什么?
