多项式函数是各类函数中最简单的一种, 用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容. 在学习导数和微分概念时已经知道, 若函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 可导, 则有
\begin{equation*}
f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+o\left(x-x_{0}\right)=p_{1}\left(x_{0}\right)+o\left(x-x_{0}\right),
\end{equation*}
即在点 \(x_{0}\) 附近, 用一次多项式 \(p_{1}(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\) 逼近函数 \(f(x)\) 时,满足 \(p_{1}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right), p_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\text{,}\) 其误差仅为 \(\left(x-x_{0}\right)\) 的高阶无穷小量, 但不能具体估计出误差的大小. 在很多场合, 取一次多项式逼近函数 \(f(x)\) 时,其精确度是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近. 设 \(f(x)\) 在含有 \(x_{0}\) 的开区间内具有直到 \(n+1\) 阶的导数,设想用一个 \(n\) 次多项式
\begin{equation}
p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\tag{3.2.1}
\end{equation}
来近似代替 \(f(x)\text{,}\) 要求 \(p_{n}(x)\) 与 \(f(x)\) 之差是比 \(\left(x-x_{0}\right)^{n}\) 高阶的无穷小, 并给出 \(\left|f(x)-p_{n}(x)\right|\) 的具体表达式. 为了观察 \(f(x)\) 和多项式 \(p_{n}(x)\) 的值之间的关系,首先假设 \(f(x)=p_{n}(x)\text{,}\) 即 \(f(x)=p_{n}(x)=a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\text{,}\) 由此可见 \(p_{n}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right), p_{n}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right), p_{n}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right), \cdots, p_{n}^{(n)}\left(x_{0}\right)=f^{(n)}\left(x_{0}\right)\text{.}\) 根据这些等式即可确定多项式 \(p_{n}(x)\) 的系数: \(a_{0}=p_{n}\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right), a_{1}=p_{n}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !}, a_{2}=\frac{p_{n}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}=\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}, \cdots, a_{n}=\frac{p_{n}^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}=\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\text{.}\) 因此,多项式 \(p_{n}(x)\) 的各项系数由 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的各阶导数值所唯一确定, 且
\begin{equation*}
p_{n}(x)=f\left(x_{0}\right)+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !}\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n} .
\end{equation*}
于是, 对于一般函数 \(f(x)\text{,}\) 设它在点 \(x_{0}\) 存在直到 \(n\) 阶的导数. 由 \(\frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k !}(k=0\text{,}\) \(1,2, \cdots, n)\) 作为系数构造一个 \(n\) 次多项式
因为 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{R_{n}(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{n}}=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)=0\text{,}\) 所以当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时, \(R_{n}(x)\) 是比 \(\left(x-x_{0}\right)^{n}\) 高阶的无穷小, 从而在不需要余项的精确表达式时, 泰勒公式也可写成
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(x)= & f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+ \\
& \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left[\left(x-x_{0}\right)^{n}\right] .
\end{aligned}\tag{3.2.4}
\end{equation}
余项
\(R_{n}(x)=o\left[\left(x-x_{0}\right)^{n}\right]\) 称为皮亚诺 (Peano) 型余项,公
(3.2.4)称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式. 当
\(x_{0}=0\) 时,得到泰勒公式
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(x)= & f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+ \\
& \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1} \quad(0<\theta<1) .
\end{aligned}\tag{3.2.5}
\end{equation}
(3.2.5) 也称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林 (Maclaurin)公式.
