高阶导数

Section 2.3 高阶导数

Subsection 2.3.1 高阶导数的概念

在实际问题中常常要求对函数 \(y=f(x)\) 的导函数 \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) 求导. 例如对做变速直线运动的物体求其运动的加速度. 设物体的位置函数为 \(s=s(t)\text{,}\) 其速度是位置函数 \(s(t)\) 的导数, 即 \(v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\text{,}\) 而加速度 \(a(t)\) 又是 \(v(t)\) 对时间 \(t\) 的变化率, 即速度函数 \(v(t)\) 对时间 \(t\) 的导数

\begin{equation*} a(t)=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=v^{\prime}(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\right) \end{equation*}

将 \(a(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\right)\) 称为 \(s(t)\) 对 \(t\) 的二阶导数, 记作 \(a(t)=s^{\prime \prime}(t)\) 或 \(\frac{\mathrm{d}^{2} s}{\mathrm{~d} t^{2}}\text{.}\) 一般地, 若函数 \(y=f(x)\) 的导函数 \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) 仍是可导的, 则称 \(f^{\prime}(x)\) 的导数 \(\left[f^{\prime}(x)\right]^{\prime}\) 为 \(f(x)\) 的二阶导数, 记作 \(y^{\prime \prime}, f^{\prime \prime}(x), \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\) 或 \(\frac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{~d} x^{2}}\text{,}\) 即

\begin{equation*} y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{\mathrm{d} x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x+\Delta x)-f^{\prime}(x)}{\Delta x} . \end{equation*}

类似地, \(f(x)\) 的二阶导数的导数称为 \(f(x)\) 的三阶导数, \(f(x)\) 的三阶导数的导数称为 \(f(x)\) 的四阶导数 \(\cdots \cdots \cdot f(x)\) 的 \(n-1\) 阶导数的导数称为 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶导数,分别记作

\begin{equation*} y^{\prime \prime \prime}, f^{\prime \prime \prime}(x), \frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}, \frac{\mathrm{d}^{3} f}{\mathrm{~d} x^{3}} ; y^{(4)}, f^{(4)}(x), \frac{\mathrm{d}^{4} y}{\mathrm{~d} x^{4}}, \frac{\mathrm{d}^{4} f}{\mathrm{~d} x^{4}} ; \cdots ; y^{(n)}, f^{(n)}(x), \frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{~d} x^{n}}, \frac{\mathrm{d}^{n} f}{\mathrm{~d} x^{n}} \end{equation*}

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数, 为统一起见, 习惯上把 \(f^{\prime}(x)\) 称为 \(f(x)\) 的一阶导数, 把 \(f(x)\) 本身称为 \(f(x)\) 的零阶导数, 记作 \(f(x)=f^{(0)}(x)\text{.}\) 由此可见, 若计算一个函数的高阶导数, 只需对其逐次求导即可.

Example 2.3.1.

例 1 求指数函数 \(y=a^{x}(a>0, a \neq 1)\) 的 \(n\) 阶导数.

Solution.

解 \(y^{\prime}=a^{x} \ln a, y^{\prime \prime}=a^{x} \ln ^{2} a, y^{\prime \prime \prime}=a^{x} \ln ^{3} a, \cdots, y^{(n)}=a^{x} \ln ^{n} a ，\)

\begin{equation} \left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x} \ln ^{n} a\tag{2.3.1} \end{equation}

特别地, 当 \(a=\mathrm{e}\) 时,

\begin{equation} \left(\mathrm{e}^{x}\right)^{(n)}=\mathrm{e}^{x} .\tag{2.3.2} \end{equation}

Example 2.3.2.

例 2 求正弦函数 \(y=\sin x\) 的 \(n\) 阶导数.

Solution.

解

\begin{equation*} \begin{gathered} y^{\prime}=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \\ y^{\prime \prime}=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(x+2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \\ y^{\prime \prime \prime}=\cos \left(x+2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(x+3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) . \end{gathered} \end{equation*}

一般地,用数学归纳法可证得

\begin{equation} y^{(n)}=(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)\tag{2.3.3} \end{equation}

类似地, 可得

\begin{equation} (\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)\tag{2.3.4} \end{equation}

Example 2.3.3.

例 3 求对数函数 \(y=\ln (1+x)\) 的 \(n\) 阶导数.

Solution.

解 \(y^{\prime}=\frac{1}{1+x}, y^{\prime \prime}=\frac{-1}{(1+x)^{2}}, y^{\prime \prime \prime}=\frac{(-1) \cdot(-2)}{(1+x)^{3}}=\frac{(-1)^{2} 2 !}{(1+x)^{3}}\text{.}\) 一般地,有

\begin{equation*} y^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{(1+x)^{n}} \end{equation*}

即

\begin{equation} [\ln (1+x)]^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{(1+x)^{n}}\tag{2.3.5} \end{equation}

因为规定 \(0 !=1\text{,}\) 所以当 \(n=1\) 时, 上式仍成立.

Example 2.3.4.

例 4 求幂函数 \(y=x^{\alpha}\) ( \(\alpha\) 为实数) 的 \(n\) 阶导数.

Solution.

解

\begin{equation*} \begin{gathered} y^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}, \\ y^{\prime \prime}=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2}, \\ y^{\prime \prime \prime}=\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) x^{\alpha-3} . \end{gathered} \end{equation*}

一般地,有

\begin{equation*} y^{(n)}=\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots(\alpha-n+1) x^{\alpha-n}, \end{equation*}

即

\begin{equation} \left(x^{\alpha}\right)^{(n)}=\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots(\alpha-n+1) x^{\alpha-n} . \tag{2.3.6} \end{equation}

特别地, 当 \(\alpha=n\) 时,

\begin{equation*} \begin{gathered} \left(x^{n}\right)^{(n)}=n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1=n !, \\ \left(x^{n}\right)^{(n+1)}=0 . \end{gathered} \end{equation*}

Example 2.3.5.

例 5 设 \(y=x f(1-\cos x), f^{\prime \prime}(x)\) 存在, 求 \(\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\text{.}\)

Solution.

解由乘积的求导法则和复合函数的求导法则, 得

\begin{equation*} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(1-\cos x)+x f^{\prime}(1-\cos x) \cdot(1-\cos x)^{\prime} \end{equation*}

\begin{equation*} =f(1-\cos x)+x \sin x f^{\prime}(1-\cos x) . \end{equation*}

再利用乘积的求导法则和复合函数的求导法则, 得

\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}= & f^{\prime}(1-\cos x) \cdot(1-\cos x)^{\prime}+(x \sin x)^{\prime} f^{\prime}(1-\cos x)+ \\ & x \sin x f^{\prime \prime}(1-\cos x)(1-\cos x)^{\prime} \\ = & \sin x f^{\prime}(1-\cos x)+(\sin x+x \cos x) f^{\prime}(1-\cos x)+ \\ & x \sin ^{2} x f^{\prime \prime}(1-\cos x) \\ = & (2 \sin x+x \cos x) f^{\prime}(1-\cos x)+x \sin ^{2} x f^{\prime \prime}(1-\cos x) . \end{aligned} \end{equation*}

Example 2.3.6.

例 6 (简谐运动) 将挂在弹簧上的一重物 (见图 2-8) 从静止位置往下拉长 5 个单位并在 \(t=0\) 时刻松开, 让其上下摆动. 设时刻 \(t\) 时重物的位置为 \(s=5 \cos t\text{.}\)试求时刻 \(t\) 时重物的速度和加速度.

Solution.

解由题意得以下关系：位置 \(s=5 \cos t\text{,}\) 速度 \(v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(5 \cos t)=-5 \sin t\text{,}\) 加速度 \(a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(-5 \sin t)=-5 \cos t\text{.}\) 重物的位置函数图形和速度函数图形如图 2-9 所示. 从这些等式中可以获得以下信息:

当时间推移时, 重物沿 \(s\) 轴在 \(s=-5\) 和 \(s=5\) 之间运动的最大幅度是 5 ,运动周期是 \(2 \pi\text{.}\)
如图 2-9 所示, 当 \(\cos t=0\) 时,速度 \(v=-5 \sin t\) 的绝对值达到其最大值 5 .因此, 当 \(\cos t=0\) 即 \(s=0\) (静止位置) 时, 重物的速率 \(|v|=5|\sin t|\) 达到最大. 当 \(\sin t=0\) 即 \(s=5 \cos t= \pm 5\) 时, 重物在运动区间的端点速度为零.
加速度的值总是与位置值反号. 当重物在静止位置上方时, 重力要拖它往下; 当重物在静止位置下方时,弹簧拉它向上.
加速度 \(a=-5 \cos t\) 仅当重物处于静止位置时才为零, 静止位置处 \(\cos t=0\)且重力与弹簧力互相抵消. 当重物在其他位置时, 这两个力不相等, 故加速度不为零. 加速度的量值在离静止位置最远处 \((\cos t= \pm 1)\) 达到最大.

“急推” 是加速度关于时间 \(t\) 的导数: \(j(t)=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta a}{\Delta t}=a^{\prime}(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\mathrm{d}^{2} s}{\mathrm{~d} t^{2}}\right)=\frac{\mathrm{d}^{3} s}{\mathrm{~d} t^{3}}\text{.}\)在该例中简谐运动的急推为

\begin{equation*} j(t)=\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(-5 \cos t)=5 \sin t \end{equation*}

当 \(\sin t= \pm 1\) 时它达到其最大量值, 它不是在位置的最大值处而是在静止位置处达到, 在静止位置处加速度改变方向和符号.

Subsection 2.3.2 高阶导数的四则运算及莱布尼茨公式

设函数 \(u(x), v(x)\) 都有 \(n\) 阶导数, 由导数的四则运算法则, 显然有

\begin{align} (u \pm v)^{(n)}\amp=u^{(n)} \pm v^{(n)}, \tag{2.3.7}\\ (C u)^{(n)}=\amp C u^{(n)}(C \text { 为常数). }\tag{2.3.8} \end{align}

而 \((u \cdot v)^{(n)}\) 的情况要复杂得多.

\begin{equation*} \begin{gathered} (u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}, \\ (u \cdot v)^{\prime \prime}=u^{\prime \prime} v+2 u^{\prime} v^{\prime}+u v^{\prime \prime}, \\ (u \cdot v)^{\prime \prime \prime}=u^{\prime \prime \prime} v+3 u^{\prime \prime} v^{\prime}+3 u^{\prime} v^{\prime \prime}+u v^{\prime \prime \prime} . \end{gathered} \end{equation*}

由此可见, 如果把求导的阶数理解为求幂的指数, 那么等式的右端就是二项式展开公式,因此由数学归纳法可以证得下面的公式.

莱布尼兹公式.

\begin{align*} (u \cdot v)^{(n)}=\amp u^{(n)} v+\mathrm{C}_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{\prime}+\mathrm{C}_{n}^{2} u^{(n-2)} v^{\prime \prime}\\ \amp +\cdots+\mathrm{C}_{n}^{k} u^{(n-k)} v^{(k)}+\cdots+u v^{(n)}\text{,} \end{align*}

\begin{equation} \text{即} \hspace{1cm} (u \cdot v)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} u^{(n-k)} v^{(k)},\tag{2.3.9} \end{equation}

其中 \(\mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}=\frac{n !}{k !(n-k) !}\text{.}\)

利用莱布尼茨公式,可以比较简便地求出乘积的高阶导数.

Example 2.3.7.

例 7 求函数 \(y=x^{3} \mathrm{e}^{x}\) 的 10 阶导数.

Solution.

解令 \(u=\mathrm{e}^{x}, v=x^{3}\text{,}\) 则 \(u^{(k)}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{(k)}=\mathrm{e}^{x}, k=0,1, \cdots, 10\text{,}\)

\begin{equation*} v^{(k)}=\left(x^{3}\right)^{(k)}=0, k=4,5, \cdots, 10 . \end{equation*}

利用莱布尼茨公式, 有 \((u \cdot v)^{(10)}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{(10)} \cdot x^{3}+\mathrm{C}_{10}^{1}\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{(9)} \cdot\left(x^{3}\right)^{\prime}+\mathrm{C}_{10}^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{(8)}\left(x^{3}\right)^{\prime \prime}+\mathrm{C}_{10}^{3}\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{(7)}\left(x^{3}\right)^{\prime \prime \prime}\text{,}\) 故

\begin{equation*} \begin{aligned} \left(x^{3} \mathrm{e}^{x}\right)^{(10)} & =x^{3} \mathrm{e}^{x}+30 x^{2} \mathrm{e}^{x}+45 \times 6 x \mathrm{e}^{x}+720 \mathrm{e}^{x} \\ & =\left(x^{3}+30 x^{2}+270 x+720\right) \mathrm{e}^{x} . \end{aligned} \end{equation*}

Example 2.3.8.

例 8 求函数 \(y=x^{2} \sin x\) 的 50 阶导数.

Solution.

解令 \(u=\sin x, v=x^{2}\text{,}\) 则 \(u^{(k)}=(\sin x)^{(k)}=\sin \left(x+k \frac{\pi}{2}\right), k=0,1,2, \cdots, 50\) ，

\begin{equation*} v^{(k)}=\left(x^{2}\right)^{(k)}=0 k=3,4, \cdots, 50 . \end{equation*}

利用莱布尼茨公式,有

\begin{equation*} \begin{aligned} y^{(50)} & =\left(x^{2} \sin x\right)^{(50)}=(\sin x)^{(50)} x^{2}+\mathrm{C}_{50}^{1}(\sin x)^{(49)} \cdot 2 x+\mathrm{C}_{50}^{2}(\sin x)^{(48)} \cdot 2 \\ & =x^{2} \sin \left(x+50 \times \frac{\pi}{2}\right)+50 \times 2 x \sin \left(x+49 \times \frac{\pi}{2}\right)+50 \times 49 \sin \left(x+48 \times \frac{\pi}{2}\right) \\ & =-x^{2} \sin x+100 x \cos x+2450 \sin x . \end{aligned} \end{equation*}

Technology 2.3.9. SageMath求解导数.

1. SageMath求解函数的导数举例

2. SageMath求解函数的高阶导数举例

SageMath求解函数的多阶导数

Subsection 2.3.3 本节知识图谱

Figure 2.3.10. 知识图谱

Subsection 2.3.4 习题 2-3

求下列函数的二阶导数:
1. \(y=x \mathrm{e}^{-x^{2}}\text{;}\)
2. \(y=x^{2} \ln x\text{;}\)
3. \(y=\left(1+x^{2}\right) \arctan x\text{;}\)
4. \(y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}\text{;}\)
5. \(y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\text{;}\)
6. \(y=\mathrm{e}^{2 x} \sin (2 x+1)\text{.}\)
求下列函数的三阶导数:
1. \(y=x^{2} \sin 2 x\text{;}\)
2. \(y=\left(x^{2}+a^{2}\right) \arctan \frac{x}{a}\text{.}\)
求下列函数的 \(n\) 阶导数 \(y^{(n)}\) :
1. \(y=\frac{2(x+1)}{x^{2}+2 x-3}\text{;}\)
2. \(y=\ln \frac{a+b x}{a-b x}\text{.}\)
设 \(f^{\prime \prime}(x)\) 存在, 求下列函数的二阶导数 \(\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\text{.}\)
1. \(y=f\left(\sin ^{2} x\right)\text{;}\)
2. \(y=\ln \left[f\left(x^{2}\right)\right]\text{.}\)
设 \(x=\varphi(y)\) 是 \(y=f(x)\) 的反函数, \(f^{\prime}(x) \neq 0, f^{\prime \prime \prime}(x)\) 存在, 试证：
1. \(\varphi^{\prime \prime}(y)=-\frac{f^{\prime \prime}(x)}{\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}}\text{;}\)
2. \(\varphi^{\prime \prime \prime}(y)=\frac{3\left[f^{\prime \prime}(x)\right]^{2}-f^{\prime}(x) f^{\prime \prime \prime}(x)}{\left[f^{\prime}(x)\right]^{5}}\text{.}\)
求下列函数的高阶导数:
1. 设 \(y=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}\text{,}\) 求 \(y^{(10)}\text{;}\)
2. 设 \(y=\mathrm{e}^{x} \cos x\text{,}\) 求 \(y^{(4 n)}\text{;}\)
3. 设 \(y=x \operatorname{sh} x\text{,}\) 求 \(y^{(100)}\text{.}\)
证明: \(\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)^{(n)}=4^{n-1} \cos \left(4 x+\frac{n \pi}{2}\right)\text{.}\)

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