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高等数学: 数字教材

T,谭易兰, C

Section 3.3 本章小结

Subsection 3.3.1 主要内容

微分学基本定理是微分学的理论基础, 揭示了函数与导数之间的内在联系,是利用导数研究函数性质的有效工具, 是沟通导数的局部性质与函数在区间上的整体性质的重要桥梁.
  1. 费马引理是导出微分学三个基本定理的引理.
  2. 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件均是充分而非必要的. 定理的条件缺少一个, 结论都有可能不成立; 但是定理的条件不满足, 结论也有可能成立.
  3. 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理有相同的几何背景:在处处有切线 (除两端点外) 的连续曲线弧段 \(\overparen{AB}\) 上, 至少有一点处的切线平行于弦 \(\overline{AB}\text{.}\)
  4. 泰勒公式体现了用一个多项式去逼近函数的思想方法, 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理之间有如下关系:(****)

Subsection 3.3.2 基本要求

  1. 理解费马引理.
  2. 理解罗尔中值定理和拉格朗日中值定理.
  3. 了解柯西中值定理和泰勒定理.
  4. 会用泰勒定理解决一些简单的实际问题.

Subsection 3.3.3 学习指导

  1. 费马引理可以理解为证明微分学基本定理的引理. 引理本身也刻画了有界可导函数取最大 (小)值时的函数的特性.
  2. 微分学基本定理揭示了函数与其导数之间的内在联系, 是利用导数研究函数特性的理论根据, 其中拉格朗日中值定理是核心, 罗尔定理是它的特殊情况,柯西中值定理是它的推广. 泰勒定理可看成柯西中值定理在多项式函数逼近中的应用。
  3. 三个微分学基本定理具有以下共性:
    1. 建立了函数在一个区间上的增量 (整体性) 与函数在该区间某点处的导数 (局部性) 之间的联系, 从而使导数成为研究函数性态的工具.
    2. 它们都是中值点的存在性定理且定理本身未提供 \(\xi\) 在区间内的准确位置,而仅显示 \(\xi\) 介于区间的两个端点 \(a\) 与 \(b\) 之间. 注意不能将中值理解为区间的中点 \(\frac{a+b}{2}\text{.}\) 除了较简单的函数能求出中值点 \(\xi\) 的精确值外, 通常 \(\xi\) 的值都很难确定, 但它的存在性在理论与实际中仍有广泛的应用.
    3. 中值定理的条件都是充分而非必要的. 当条件满足时,结论一定成立; 当条件不满足时, 结论也可能成立.
    4. 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理具有相同的几何意义:对于 \((a, b)\) 内处处有非铅直切线的曲线 \(y=f(x)\) 来说, 其上至少有一点处的切线与连接两个端点 \(A(a, f(a))\) 与 \(B(b, f(b))\) 的弦 \(\overline{A B}\) 平行.
  4. 通常根据拉格朗日中值定理的结论得到拉格朗日中值公式. 常用的拉格朗日中值公式有下列形式:
    1. \(f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, \xi\) 在 \(a, b\) 之间;
    2. \(f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a), \xi\) 在 \(a, b\) 之间;
    3. \(f(b)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta(b-a))(b-a), 0<\theta<1\text{;}\)
    4. \(f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(\xi) \Delta x, \xi\) 介于 \(x\) 与 \(x+\Delta x\) 之间;
    5. \(f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta(x)) \Delta x, 0<\theta(x)<1\text{;}\)
    6. \(f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}(x+\theta h), 0<\theta<1\text{;}\)
    7. \(f^{\prime}(\xi)=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}, \xi\) 在 \(x_{1}, x_{2}\) 之间.
  5. 求函数 \(f(x)\) 的泰勒公式的两种方法:
    1. 直接法: 求出函数在 \(x_{0}\) 处的各阶导数, 代人公式即得.
    2. 间接法: 利用已知函数的麦克劳林公式, 通过四则运算、复合运算或变量 代换等, 得所求函数的泰勒公式.
几个常用的初等函数的麦克劳林公式如下:
\begin{equation*} \begin{array}{ll} \sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+(-1)^{n} \frac{\cos \theta x}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}, & 0<\theta<1 ; \\ \cos x=1-\frac{1}{2 !} x^{2}+\frac{1}{4 !} x^{4}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}+(-1)^{n+1} \frac{\cos \theta x}{(2 n+2) !} x^{2 n+2}, & 0<\theta<1 ; \\ \mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{1}{2} x^{2}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+\frac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n+1) !} x^{n+1}, & 0<\theta<1 ; \\ \ln (1+x)=x-\frac{1}{2} x^{2}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}+\frac{(-1)^{n}}{n+1} \frac{x^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+1}}, & 0<\theta<1 ; \\ (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+ & 0<\theta<1 . \end{array} \end{equation*}

Subsection 3.3.4 自我检测题 3

  1. 验证函数 \(y=x^{3}\) 在闭区间 \([0,1]\) 上满足拉格朗日中值定理, 并求出 \(\xi\) 的值.
  2. 应用拉格朗日中值定理证明不等式:
    \begin{equation*} \text { 当 } x>0 \text { 时, } \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x \text {. } \end{equation*}
  3. 证明恒等式:
    \begin{equation*} \arctan x+\arctan \frac{1-x}{1+x}= \begin{cases}\frac{\pi}{4}, & x>-1 \\ -\frac{3 \pi}{4}, & x<-1\end{cases} \end{equation*}
  4. 写出函数 \(y=\arcsin x\) 的三阶麦克劳林展开式.
  5. 证明方程 \(x^{5}-5 x+1=0\) 有且只有一个小于 1 的正根.
  6. 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上连续, 在 \((0,1)\) 内可导, 且 \(f(1)=0\text{,}\) 证明存在一点 \(\xi \in(0,1)\text{,}\)使 \(f(\xi)=-\xi f^{\prime}(\xi)\text{.}\)
  7. 设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续, 在 \((a, b)\) 内可导, 且 \(0<a<b\text{,}\) 证明: 在 \((a, b)\) 内至少存在一点 \(\xi\text{,}\)使 \(f(b)-f(a)=\xi\left(\ln \frac{b}{a}\right) f^{\prime}(\xi) \quad(a<\xi<b)\text{.}\)
  8. 利用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式,求下列极限：
    1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}\text{;}\)
    2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x^{2}-x^{2} \cos x-1}{\sin x^{2}}\text{.}\)
  9. 利用泰勒公式证明不等式: \(\sqrt{1+x}>1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8} \quad(x>0)\text{.}\)

Subsection 3.3.5 复习题 3

  1. 证明多项式 \(f(x)=x^{3}-3 x+a\) 在 \([0,1]\) 上不可能有两个零点.
  2. 设有函数 \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\text{,}\) 证明在 \((1,3)\) 内存在 \(\xi\text{,}\) 使 \(f^{\prime \prime}(\xi)=0\text{.}\)
  3. 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([0,1]\) 上可导, 且 \(0<f(x)<1, x \in(0,1)\) 时, \(f^{\prime}(x) \neq 1\text{,}\) 证明在 \((0,1)\)内,方程 \(f(x)=x\) 有且只有一个根.
  4. 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上可导 \((a<b), f(a)=f(b)\text{,}\) 证明存在 \(\xi \in(a, b)\text{,}\) 使
    \begin{equation*} f(a)-f(\xi)=\xi f^{\prime}(\xi). \end{equation*}
  5. 设函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续, 在 \((0,1)\) 内可微, 且 \(\left|f^{\prime}(x)\right|<1\text{,}\) 又 \(f(0)=f(1)\text{.}\) 证明对于 \([0,1]\) 上的任意两点 \(x_{1}, x_{2}\text{,}\) 恒有 \(\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\frac{1}{2}\text{.}\)
  6. 设函数 \(f(x)\) 具有二阶连续导数, \(f(0)=f(1)=0\text{,}\) 且当 \(x \in(0,1)\) 时, \(\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant A\text{,}\) 证明当 \(0 \leqslant x \leqslant 1\) 时, \(\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{A}{2}\text{.}\)
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