Project 3.0.1. 发现之路: 拉格朗日中值定理.
设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上可导.
(a) 交互演示.
在下面的互动中，我们思路如下.
- 展示函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的平均变化率\(k\text{.}\)
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\(k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) - 展示导函数图像，并求出在开区间\((a,b)\)上\(f'(\xi)=k\)的所有值\(\xi\text{.}\)
- 画出函数\(f(x)\)在\(x=\xi\)处切线.
- 通过改变\(a\)的值的大小,
讨论:关于紫色割线和黄色的切线有什么规律？
(b) 猜想.
朗格朗日中值定理的数学表述.
注意到我们称函数在一点处的导数值为函数在该点处的瞬时变化率. 通过观察, 你能得出什么结论?
Solution.
对于可导函数, 在区间\([a,b]\)上, 存在一点\(\xi\text{,}\) 在该点处的瞬时变化率等于函数在区间上的平均变化率.
