Section 5.5 积分表的使用
根据基本积分公式和各种积分方法, 可以求出许多函数的不定积分, 但在工程技术中遇到的许多积分, 仅靠这些积分方法还不能完全解决. 为满足需要和使用方便起见,往往把常用的积分公式汇集成表,称为积分表. 积分表是按照被积函数的类型排列的,求积分时可根据被积表达式的类型直接或经过简单的变形后,在表内查到所需的结果. 本书末附有一个简单的积分表, 以供查阅,下面举例说明积分表的使用方法.
Example 5.5.1.
例 1 求不定积分 \(\displaystyle \int \frac{x^{2}}{(3 x+4)^{2}} \mathrm{~d} x\text{.}\)
Solution.
解 被积函数含有 \(a x+b\) 的因式,在积分表 1 中查得公式 (8), 其中 \(a=3\text{,}\) \(b=4\text{,}\) 于是
\begin{equation*}
\displaystyle \int \frac{x^{2}}{(3 x+4)^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{27}\left(3 x+4-\frac{16}{3 x+4}-8 \ln |3 x+4|\right)+C
\end{equation*}
Example 5.5.2.
例 2 求不定积分 \(\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+x}}{x^{2}} \mathrm{~d} x\text{.}\)
Solution.
解 被积函数含有 \(\sqrt{a+b x}\) 的因式, 在积分表 2 中查得公式 (18), 其中 \(a=\) \(b=1\text{.}\) 于是
\begin{equation*}
\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+x}}{x^{2}} \mathrm{~d} x=-\frac{\sqrt{1+x}}{x}+\frac{1}{2} \displaystyle \int \frac{1}{x \sqrt{1+x}} \mathrm{~d} x \text {. }
\end{equation*}
右端第二个积分仍可在积分表2中查的公式 (15),得
\begin{equation*}
\displaystyle \int \frac{1}{x \sqrt{1+x}} \mathrm{~d} x=\ln \frac{|\sqrt{1+x}-1|}{\sqrt{x+1}+1}+C,
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+x}}{x^{2}} \mathrm{~d} x=-\frac{\sqrt{1+x}}{x}+\frac{1}{2} \ln \frac{|\sqrt{1+x}-1|}{\sqrt{x+1}+1}+C .
\end{equation*}
Example 5.5.3.
例 3 求不定积分 \(\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+3 x-1} \mathrm{~d} x\text{.}\)
Solution.
解 被积函数含有 \(a x^{2}+b x+c\text{,}\) 在积分表 5 中查得公式 (29), 此时 \(a=1\text{,}\) \(b=3, c=-1\text{,}\) 而 \(b^{2}-4 a c=13>0\text{,}\) 即 \(b^{2}>4 a c\text{,}\) 按公式 (29)第二种情况, 即
\begin{equation*}
\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+3 x-1}=\frac{1}{13} \ln \left|\frac{2 x+3-\sqrt{13}}{2 x+3+\sqrt{13}}\right|+C .
\end{equation*}
注意 查不定积分表时要注意表中公式的不同情况.
Example 5.5.4.
例 4 求不定积分 \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{5-4 \cos x}\text{.}\)
Solution.
解 被积函数含有三角函数, 在积分表 11 中查得公式 (107), 注意到 \(a=5\text{,}\) \(b=-4, a^{2}>b^{2}\text{,}\) 故
\begin{equation*}
\displaystyle \int \frac{1}{5-4 \cos x} \mathrm{~d} x=\frac{2}{3} \arctan \left(3 \tan \frac{x}{2}\right)+C
\end{equation*}
下面再举一个不能直接在表中查到而需先进行变量替换后再查表的例子.
Example 5.5.5.
例 5 求不定积分 \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4 x^{2}+9}}\text{.}\)
Solution.
解 为了套用表 6 中公式 (37), 需先进行变量替换, 令 \(2 x=u\text{,}\) 则
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{4 x^{2}+9}} & =\displaystyle \int \frac{\frac{1}{2} \mathrm{~d} u}{\frac{u}{2} \sqrt{u^{2}+3^{2}}}=\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} u}{u \sqrt{u^{2}+3^{2}}}=\frac{1}{3} \ln \frac{\sqrt{u^{2}+3^{2}}-3}{|u|}+C \\
& =\frac{1}{3} \ln \frac{\sqrt{4 x^{2}+9}-3}{|2 x|}+C .
\end{aligned}
\end{equation*}
一般来说,查积分表可以节省计算时间,但是只有掌握了前面学过的基本积分方法之后才能灵活地使用积分表,而且对一些简单的积分, 应用基本积分方法来计算比查表更方便,如用查表求不定积分 \(\displaystyle \int \sin ^{5} x \mathrm{~d} x\text{,}\) 需两次使用公式 (95),而用凑微分法很快可得结果, 即
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\displaystyle \int \sin ^{5} x \mathrm{~d} x & =-\displaystyle \int \sin ^{4} x \mathrm{~d}(\cos x)=-\displaystyle \int\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2} \mathrm{~d}(\cos x) \\
& =-\displaystyle \int\left(1-2 \cos ^{2} x+\cos ^{4} x\right) \mathrm{d}(\cos x) \\
& =-\left[\cos x-\frac{2}{3} \cos ^{3} x+\frac{1}{5} \cos ^{5} x\right]+C .
\end{aligned}
\end{equation*}
