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高等数学: 数字教材

T,谭易兰, C

Section 2.7 本章小结

Subsection 2.7.1 主要内容

本章主要介绍导数与微分的有关概念、几何意义及它们的计算方法.
  1. 导数的概念. 函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处的导数就是函数的增量 \(\Delta y\) 与自变量 \(x\) 的增量 \(\Delta x\) 之比在 \(\Delta x \rightarrow 0\) 时的极限, 即
    \begin{equation*} f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} . \end{equation*}
    它描述在自变量 \(x\) 有一个改变量 \(\Delta x\) 时, 函数变化的快慢程度一一变化率.
    若函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处可导,则 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处必定连续.
  2. 单侧导数的概念. 函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处可导的充分必要条件是 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处的左、右导数存在且相等.
  3. 根据导数的定义, 求出一些比较简单的函数的导数, 建立导数的四则运算法则, 以及反函数、复合函数的求导法则.
    设 \(u(x), v(x)\) 在 \(x\) 处可导,则
    \begin{equation*} (u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime} ; \quad(u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} ; \quad\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \quad(v \neq 0) . \end{equation*}
    设函数 \(x=\varphi(y)\) 在某区间 \(I\) 上单调连续, 若 \(x=\varphi(y)\) 在点 \(y\) 处可导, 且 \(\varphi^{\prime}(y) \neq 0\text{,}\)则其反函数 \(y=\varphi^{-1}(x)=f(x)\) 在相应的点 \(x \in I^{\prime}\) 处也可导, 且 \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}\text{.}\)
    如果 \(u=\varphi(x)\) 在点 \(x\) 处可导,而 \(y=f(u)\) 在 \(u=\varphi(x)\) 可导,那么 \(y=f[\varphi(x)]\)在点 \(x\) 处可导, 且其导数为 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f^{\prime}(u) \cdot \varphi^{\prime}(x)\text{,}\) 即 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}\text{.}\)
    利用定义和上述法则可得到基本初等函数与一些常见初等函数的导数公式.
  4. 隐函数的概念及其求导方法、取对数求导法、由参数方程所确定的函数的求导方法.
    假设方程 \(F(x, y)=0\) 确定了隐函数 \(y=f(x)\text{,}\) 将方程 \(F(x, y)=0\) 两端对 \(x\)求导, 得到含 \(y^{\prime}\) 的方程, 将 \(y^{\prime}\) 解出, 便得所求隐函数的导数.
    对于幂指函数 \(y=[\varphi(x)]^{\psi(x)}\) 与较复杂的无理函数, 通过取对数然后求出导数, 可以使求导的过程简化, 这种方法称为取对数求导法.
    若参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t), \\ y=\psi(t)\end{array}\right.\) 确定 \(y\) 是 \(x\) 的函数, \(x=\varphi(t), y=\psi(t)\) 都可导, 且 \(\varphi^{\prime}(t) \neq 0\text{,}\)则 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}\text{.}\)
  5. 相关变化率的概念与计算方法.
  6. 高阶导数的概念与高阶导数的求法.
    \(y=f(x)\) 的导数 \(f^{\prime}(x)\) 的导数称为 \(f(x)\) 的二阶导数, 即
    \begin{equation*} y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{\mathrm{d} x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x+\Delta x)-f^{\prime}(x)}{\Delta x} . \end{equation*}
    \(f(x)\) 的二阶导数的导数称为 \(f(x)\) 的三阶导数, \(\cdots \cdots, f(x)\) 的 \(n-1\) 阶导数的导数称为 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶导数.
  7. 微分的概念、可导与可微的关系、微分形式的不变性、微分法则及几个常用的微分公式.
    若 \(\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=A \Delta x+o(\Delta x)\text{,}\) 其中 \(A\) 是与 \(\Delta x\) 无关的常数,则称 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 可微; 函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 可微的充分必要条件是 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 可导, 且 \(\mathrm{d} y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \mathrm{d} x\text{.}\) 微分描述函数 \(y=f(x)\) 在自变量有一个改变量 \(\Delta x\) 时, 函数改变量大小的近似值.
  8. 利用微分进行近似计算和误差估计.
Figure 2.7.1. 第二章知识图谱

Subsection 2.7.2 基本要求

  1. 理解导数与微分的概念、导数的几何意义及函数的可导性与连续性的关系.
  2. 熟练运用导数基本公式, 掌握导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则, 了解微分的四则运算法则和微分形式的不变性.
  3. 会求隐函数与参数方程确定的函数的导数.
  4. 掌握高阶导数的概念, 会求一些函数的高阶导数.
  5. 会用微分近似公式计算函数增量和函数值的近似值.

Subsection 2.7.3 学习指导

导数与微分是微积分的两个重要概念, 导数是函数增量与自变量之比的极限, 反映了自变量变化时函数变化的快慢程度, 微分则是通过计算函数增量引进的概念, 是函数增量的线性主部. 导数和微分虽然是两个不同的概念, 但是有着密切的联系, 即函数在某点可导与可微是等价的且 \(\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\text{.}\) 函数的连续性是函数可导的必要条件而非充分条件, 即函数在某点可导时则必定在该点连续, 但函数在该点连续时却不一定在该点可导. 由此可知, 函数在某点不连续时在该点一定既不可导也不可微. 导数与微分的计算在微积分中占有极为重要的地位, 一定要熟练掌握基本初等函数的求导公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则, 也应熟练掌握隐函数的求导方法和参数方程的求导方法. 为简化计算, 在对函数求导数之前, 应先考虑能否将该函数进行适当变形, 化为易于直接利用某个导数公式的形式后再求导. 例如函数 \(y=\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}\text{,}\) 可先化为 \(y=x^{\frac{7}{8}}\text{,}\) 再用幂函数的求导公式求导数;又如幂指函数 \(y=x^{x}\text{,}\) 可先化为 \(y=\mathrm{e}^{x \ln x}\text{,}\) 再用复合函数的求导法则求导数,或者取对数化为 \(\ln y=x \ln x\) 后用隐函数的求导法则求导数. 求分子、分母都是因式连乘的分式函数的导数时, 尽量利用对数求导法. 复合函数求导法则是本章的重点和难点, 在求导运算中起着重要的作用, 正确分析函数的复合关系, 可使运算准确快捷. 求复合函数的导数时, 首先将复合函数分解成几个基本初等函数; 其次正确选取中间变量, 从外层向内层逐层求导, 直到关于自变量求导, 同时应注意不能遗漏复合步骤并及时化简计算结果, 但中间变量不一定明显写出, 只需默记在心. 公式 \([f(\varphi(x))]^{\prime}=f^{\prime}(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x)\) 中 \([f(\varphi(x))]^{\prime}\) 与 \(f^{\prime}(\varphi(x))\) 的含义不同, \([f(\varphi(x))]^{\prime}\) 表示函数 \(f(\varphi(x))\) 关于变量 \(x\)的导数,而 \(f^{\prime}(\varphi(x))\) 表示函数 \(f(\varphi(x))\) 关于中间变量 \(\varphi(x)\) 的导数. 求隐函数的导数关键是明确对哪个变量求导, 这样, 另一个变量就是方程所 确定的隐函数. 求由方程 \(F(x, y)=0\) 所表示的隐函数 \(y=y(x)\) 的导数 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\) 一般有三种方法: 方法 1 , 视 \(y\) 为 \(x\) 的函数,用复合函数求导法则在方程两边对 \(x\) 求导数,得到一个含 \(y^{\prime}\) 的等式, 解方程得 \(y^{\prime}\text{;}\) 方法 2 , 利用一阶微分形式不变性, 视 \(y\) 为 \(x\) 的复合函数,对方程两边求微分,得 \(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y\) 满足的等式,解出 \(\mathrm{d} y=g(x, y) \mathrm{d} x\text{,}\) 再写出微商 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=g(x, y)\text{;}\) 方法 3 , 利用公式 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_{x}(x, y)}{F_{y}(x, y)}\text{,}\) 其中 \(F_{y}(x, y) \neq 0\text{.}\) 具体内容将在第 11 章学习 (注意: 求 \(x_{0}\) 处的导数 \(\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_{0}}\) 时, 不可遗漏方程 \(F(x, y)=0\) 需要满足的条件). 一阶微分形式不变性是指对函数 \(y=f(x)\) 而言, 不论 \(x\) 是中间变量 \(x=\varphi(t)\)还是自变量, 总有 \(\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\) 成立. 这一性质在求某些较复杂函数的导数时很有用. 如对某些复合函数求导数, 可根据复合结构逐次微分, 直至用自变量的微分表示, 最后用微商表示导数. 求高阶导数的基本方法是逐阶求导. 在求 \(n\) 阶导数时,一般先求若干个低阶导数, 从中寻找规律并由此写出 \(n\) 阶导数的形式, 必要时利用数学归纳法证明. 有时也可将函数进行适当变形,再利用已知的高阶导数公式与运算法则直接写出结果. 特别注意在讨论分段函数在分界点的可导性时, 可以先判定函数在分界点的连续性, 若不连续则一定不可导; 若连续, 再运用导数定义判断可导性 (即判断函数与自变量增量比的极限是否存在). 利用导数与微分可求解一些简单的应用问题. 如由曲线方程求切线斜率和切线方程、由路程函数求速度和加速度、解相关变化率等. 近似公式 \(f(x) \approx f\left(x_{0}\right)+\) \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\) 是由函数增量与微分的关系 \(\Delta y \approx \mathrm{d} y\) (取 \(\Delta x=x-x_{0}\) ) 得到的. 当 \(x\)充分小时,利用 \(f(x) \approx f(0)+f^{\prime}(0) x\) 可得以下近似公式:
\begin{equation*} \sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n} x, \sin x \approx x, \tan x \approx x, \mathrm{e}^{x} \approx 1+x, \ln (1+x) \approx x, \cdots \end{equation*}

Subsection 2.7.4 自我检测题

  1. 求下列函数的导数:
    1. \(y=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}-x+\mathrm{e}^{-x}\right)\text{;}\)
    2. \(\displaystyle y=\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x}}}\)
    3. \(y=\ln \frac{1+\sqrt{\sin x}}{1-\sqrt{\sin x}}+2 \arctan \sqrt{\sin x}\text{;}\)
    4. \(y=\sqrt{t} \arccos \sqrt{t}\text{;}\)
    5. \(y=x^{\sin x}\text{;}\)
    6. \(y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\text{.}\)
  2. 求下列方程所确定的隐函数的导数 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\) :
    1. \(y^{5}+x y^{4}+2 y-x^{3}=1\text{;}\)
    2. \(\sin (x y)-\ln \frac{x+1}{y}=1\text{.}\)
  3. 求曲线 \(2 x^{2}-3 y^{2}=1\) 在 \(y=1\) 处的切线方程与法线方程.
  4. 求下列参数方程确定的函数的导数 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\) :
    1. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^{2}+1} \\ y=\frac{t-1}{\sqrt{t^{2}+1}}\end{array}\right.\)
    2. \(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=a(1+\cos \theta) \sin \theta, \\ y=a(1+\cos \theta) \cos \theta .\end{array}\right.\)
  5. 求方程 \(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{y}=x y\) 确定的函数 \(y=y(x)\) 的二阶导数 \(\left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}\text{.}\)
  6. 求由参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^{3} \theta, \\ y=a \sin ^{3} \theta\end{array}\right.\) 所确定的函数 \(y=y(x)\) 的二阶导数 \(\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\text{.}\)
  7. 设 \(y=\frac{2-x}{(1-2 x)(1+x)}\text{,}\) 求 \(y^{(n)}\text{.}\)
  8. 设方程 \(x-y=\ln (x+y)\) 确定函数 \(y=y(x)\) 或 \(x=x(y)\text{,}\) 利用微分形式不变性求微分 \(\mathrm{d} y\text{,}\) \(\mathrm{d} x\) 及导数 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\text{.}\)
  9. 一个气球由于泄气, 其半径收缩 \(2 \%\text{,}\) 试问其表面积约减少百分之几?

Subsection 2.7.5 复习 题 2

  1. 求下列函数的导数:
    1. \(y=\frac{\sin x+\cos x}{3^{x}}\text{;}\)
    2. \(y=\ln \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\cos x}}\text{;}\)
    3. \(y=a^{a^{x}}\text{;}\)
    4. \(y=x^{x^{x}}\text{;}\)
    5. \(y=\log _{x} \mathrm{e}+x^{\frac{1}{x}}\text{;}\)
    6. \(\displaystyle y= \begin{cases}x \mathrm{e}^{-x^{2}}-1, & x \leqslant 0, \\ \sin x, & x>0 .\end{cases}\)
  2. 设 \(\varphi(x)\) 在 \(x=a\) 处连续, 问 \(f(x)=|x-a| \varphi(x)\) 在 \(x=a\) 处是否可导?
  3. 问 \(a, b\) 为何值时, \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\arctan (a x), & x>0, \\ x^{2}+2 x+b, & x \leqslant 0\end{array}\right.\) 在 \(x=0\) 处连续且可导.
  4. 设函数 \(f(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{n(x-1)}+a x+b}{\mathrm{e}^{n(x-1)}+1}\text{,}\) 问常数 \(a, b\) 为何值时 \(f(x)\) 处处可导? 并求出 \(f^{\prime}(x)\text{.}\)
  5. 试证抛物线 \(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}\) 上任一点处的切线在两坐标轴上截距之和等于 \(a\text{.}\)
  6. 设 \(r=a(1+\cos \theta)\text{,}\) 求 \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\text{.}\)
  7. 证明由参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{t} \sin t, \\ y=\mathrm{e}^{t} \cos t\end{array}\right.\) 所确定的函数 \(y=y(x)\) 满足关系式:
    \begin{equation*} (x+y)^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=2\left(x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y\right) . \end{equation*}
  8. 已知 \(y=f(x+y)\text{,}\) 其中 \(f(x)\) 二阶可微, 求 \(\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\text{.}\)
  9. 设 \(y=(\arcsin x)^{2}\text{,}\) 试证关系式 \(\left(1-x^{2}\right) y^{(n+1)}-(2 n-1) x y^{(n)}-(n-1)^{2} y^{(n-1)}=0\) 成立,并求 \(y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0), \cdots, y^{(n)}(0)\text{.}\)
  10. 试用 \(\cos x\) 表示函数 \(y=\arctan \left(\frac{5}{3} \tan \frac{x}{2}\right)\) 的微分 \(\mathrm{d} y\text{.}\)
  11. 设曲线方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}-1, \\ y=t^{3}-t,\end{array}\right.\)
    1. 求它的水平切线的方程;
    2. 证明在曲线自身相交处的两条切线互相正交.
  12. 一人以 \(2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) 的速度通过一座离水面高为 \(20 \mathrm{~m}\) 的桥, 某一时刻在此人的正下方有一小船以 \(\frac{4}{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) 的速度与桥垂直方向前进, 求此后第 \(5 \mathrm{~s}\) 末人与小船的分离速率.
  13. 已知钢的膨胀系数为 0.000011 ,一个准确的全钢钟摆在 \(20{ }^{\circ} \mathrm{C}\) 时全长为 \(24.83 \mathrm{~cm}\text{,}\) 夏天室温上升到 \(35{ }^{\circ} \mathrm{C}\) 时, 钟每天要慢多少? 冬天降到 \(-10{ }^{\circ} \mathrm{C}\) 时, 钟每天要快多少?
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