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Front Matter
Colophon
1
知识图谱
2
数智化作业练习系统
2.1
实时反馈练习题
3
Videos
4
数学软件SageMath
4.1
SageMath的基本功能
4.1.1
计算器功能
4.1.2
求解方程功能
4.1.3
函数图像
4.2
SageMath的编程功能
4.2.1
求和
4.2.2
SageMath交互
1
函数与极限
1.1
函数
1.1.1
集 合
1.1.1.1
集合的概念
1.1.1.2
集合的运算
1.1.1.3
区间
1.1.1.4
邻域
1.1.2
变量与函数的概念
1.1.3
函数的几种性质
1.1.3.1
单调性
1.1.3.2
奇偶性
1.1.3.3
有界性
1.1.3.4
周期性
1.1.4
反函数
1.1.5
复合函数
1.1.6
函数的四则运算
1.1.7
初等函数
1.1.8
双曲函数与反双曲函数
1.1.9
* 映 射
1.1.10
SageMath的基本功能
1.1.10.1
计算器功能
1.1.10.2
求解方程功能
1.1.10.3
函数图像
1.1.11
本节知识图谱
1.1.12
习题 1-1
1.2
极限
1.2.1
数列的极限及其性质
1.2.1.1
数列的概念
1.2.1.2
数列的极限
1.2.1.3
收敛数列的性质
1.2.2
函数的极限及其性质
1.2.2.1
自变量趋于无穷大时函数的极限
1.2.2.2
自变量趋于有限值时函数的极限
1.2.2.3
函数极限的性质
1.2.3
极限运算法则
1.2.3.1
极限的四则运算
1.2.3.2
复合函数的极限
1.2.4
极限存在准则 两个重要极限
1.2.4.1
极限存在准则
1.2.4.2
重要极限一
\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\)
1.2.4.3
重要极限二
\(\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=\mathrm{e}\text{.}\)
1.2.5
无穷小与无穷大
1.2.5.1
无穷小
1.2.5.2
无穷大
1.2.5.3
无穷小的比较
1.2.6
习题
1.3
函数的连续性和间断点
1.3.1
函数的连续性
1.3.2
函数的间断点及其分类
1.3.2.1
第一类间断点
1.3.2.2
第二类间断点
1.3.3
连续函数的运算
1.3.4
初等函数的连续性
1.3.5
闭区间上连续函数的性质
1.3.6
一致连续性的概念
1.3.7
SageMath代码举例
1.3.7
判断题
1.3.8
本节知识图谱
1.3.9
习题1-3
1.4
本章小结
1.4.1
主要内容
1.4.2
基本要求
1.4.3
3. 学习指导
1.4.4
自我检测题 1
1.4.5
复习题 1
1.4.6
数智化测试题
1.5
项目式练习
1.5.1
环境科学
1.5.2
连续与物理学
1.5.3
连续与工科
1.5.4
函数的连续性
1.5.5
函数与经济学
2
导数的概念
2.1
导数的概念
2.1.1
引例
2.1.1.1
变速直线运动的速度问题
2.1.1.2
平面曲线的切线斜率问题
2.1.1.3
细棒的线密度问题
2.1.2
导数的定义
2.1.2.1
函数在一点处的导数
2.1.2.2
关于导数定义的几点说明
2.1.2.3
单侧导数
2.1.2.4
导函数
2.1.2.5
几个简单函数的导数
2.1.3
导数的几何意义
2.1.4
利用单位解释导数
2.1.5
函数的可导性与连续性的关系
2.1.6
导数在自然学科中的应用实例
2.1.6.1
光栅的色散
2.1.6.2
气体的压缩与压缩系数
2.1.6.3
生物种群的增长率
2.1.7
第一节知识图谱
2.1.8
习题
2.2
函数的求导方法 初等函数的导数
2.2.1
几个基本初等函数的导数公式
2.2.2
函数的和、差、积、商的求导法则
2.2.3
反函数的求导法则
2.2.4
复合函数的求导法则
2.2.5
本节知识图谱
2.2.6
习题
2.3
高阶导数
2.3.1
高阶导数的概念
2.3.2
高阶导数的四则运算及莱布尼茨公式
2.3.3
本节知识图谱
2.3.4
习题 2-3
2.4
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
2.4.1
隐函数求导法
2.4.2
取对数求导法
2.4.3
由参数方程所确定的函数的求导法
2.4.4
由极坐标方程所表示的函数的导数
2.4.5
本节知识图谱
2.4.6
习题
2.5
相关变化率
2.6
微分
2.6.1
微分的概念
2.6.2
可微的充分必要条件
2.6.3
微分的几何意义
2.6.4
微分法则
2.6.5
微分的应用举例
2.6.5.1
函数的线性化
2.6.5.2
误差估计
2.6.5.3
边际成本
2.6.5.4
需求弹性
2.6.6
本节知识图谱
2.6.7
习题 2-6
2.7
本章小结
2.7.1
主要内容
2.7.2
基本要求
2.7.3
学习指导
2.7.4
自我检测题
2.7.5
复习 题 2
2.8
项目学习: 导数和微分的应用
2.8.1
导函数图像
2.8.2
微分在环境科学中的应用
2.8.3
导数与电动汽车
3
微积分基本定理
3.1
微分学三个基本定理
3.1.1
费马 (Fermat)引理
3.1.2
罗尔定理
3.1.3
拉格朗日中值定理
3.1.4
柯西定理
3.1.5
练习题
3.2
泰勒公式
3.2.1
习题 3-2
3.3
本章小结
3.3.1
主要内容
3.3.2
基本要求
3.3.3
学习指导
3.3.4
自我检测题 3
3.3.5
复习题 3
3.4
项目学习
3.4.1
微分中值定理在工科应用举例
3.4.2
函数逼近
4
微分学应用
4.1
未定式求极限
4.1.1
\(\frac{0}{0}\)
型未定式
4.1.2
\(\frac{\infty}{\infty}\)
型未定式
4.1.3
4. 1.3 其他未定式
4.1.4
习题 4-1
4.2
函数的单调性和极值
4.2.1
函数的单调性
4.2.2
函数的极值
4.2.3
最大值和最小值问题
4.2.4
习题 4-2
4.3
曲线的凹凸性和拐点
4.3.1
曲线的凹凸性和拐点
4.3.2
习题
4.4
函数图形的描绘
4.4.1
曲线的渐近线
4.4.1.1
水平渐近线和铅直渐近线
4.4.1.2
斜渐近线
4.4.2
函数图形的描绘
4.4.3
习题 4- 4
4.5
曲率
4.5.1
弧微分
4.5.2
曲率的计算公式
4.5.3
曲率圆
4.5.4
习题 4-5
4.6
方程的近似解
4.6.1
二分法
4.6.2
切线法
4.7
本章小结
4.7.1
主要内容
4.7.2
基本要求
4.7.3
学习指导
4.7.4
自我检测题 4
4.7.5
复 习 题 4-7
4.8
项目学习
5
不定积分
5.1
不定积分
5.1.1
原函数
5.1.2
不定积分的概念
5.1.3
基本积分表
5.1.4
基本积分运算法则
5.1.5
题 5-1
5.2
换元积分法
5.2.1
第一换元法 (凑微分法)
5.2.2
第二换元法
5.2.3
习题
5.3
分部积分法
5.3.1
分部积分法
5.3.2
习题 5-3
5.4
有理函数的不定积分
5.4.1
有理函数的积分
5.4.2
三角函数有理式的积分
5.4.2.1
万能代换
5.4.2.2
\(R(\sin x, \cos x)=R(-\sin x,-\cos x)\)
型
5.4.2.3
\(R(\sin x, \cos x)=\sin a x \cos b x\)
或
\(\sin a x \sin b x\)
或
\(\cos a x \cos b x\)
型
5.4.3
简单无理函数的积分
5.4.4
习题 5-4
5.5
积分表的使用
5.6
本章小结
5.6.1
主要内容
5.6.2
2. 基本要求
5.6.3
学习指导
5.6.4
自我检测题 5
5.6.5
复习题
6
定积分
6.1
定积分的概念
6.1.1
引 例
6.1.1.1
曲边梯形的面积
6.1.1.2
变速直线运动的路程
6.1.1.1
定积分的概念
6.1.1.2
习题 6-1
6.2
定积分的性质
6.2.1
定积分的性质
6.2.2
习题 6-2
6.3
微积分基本定理
6.3.1
积分上限的函数及其导数
6.3.2
牛顿-莱布尼茨公式
6.3.3
习题 6-3
6.4
定积分的换元法与分部积分法
6.4.1
定积分的换元法
6.4.2
定积分的分部积分法
6.4.3
习题 6-4
6.5
反常积分
6.5.1
无穷限的反常积分
6.5.2
无界函数的反常积分
6.5.3
习题 6-5
6.6
反常积分的审敛法,
\(\Gamma\)
函数
6.6.1
无穷限反常积分的审敛法
6.6.2
无界函数的反常积分的审敛法
6.6.3
\(\Gamma\)
(Gamma) 函数
6.6.4
习题6-6
6.7
本章小结
6.7.1
主要内容
6.7.2
基本要求
6.7.3
学习指导
6.7.4
自我检测题 6
6.7.5
复习题 6
7
定积分的应用
7.1
定积分的元素法
7.2
定积分在几何方面的应用
7.2.1
平面图形的面积
7.2.1.1
直角坐标系下平面图形的面积
7.2.1.2
极坐标系下平面图形的面积
7.2.2
体积
7.2.2.1
平行截面面积为已知的立体体积
7.2.2.2
旋转体的体积
7.2.3
平面曲线的弧长
7.2.4
习题 7-2
7.3
定积分在物理及其他方面的应用
7.3.1
变力沿直线所做的功
7.3.2
液体的静压力
7.3.3
引力
7.3.4
平均值和均方根
7.3.5
习题7-3
7.4
本 章 小 结
7.4.1
主要内容
7.4.2
基本要求
7.4.3
学习指导
7.4.4
自我检测题 7
7.4.5
复习题 7
8
无 穷 级 数
8.1
数项级数的概念与性质
8.1.1
数项级数的概念
8.1.2
数项级数的收敛与发散
8.1.3
收敛级数的性质
8.1.4
* 级数收敛的柯西 (Cauchy) 准则
8.1.5
习题8-1
8.2
正项级数及其审敛性
8.2.1
正项级数的基本性质
8.2.2
正项级数的比较审敛法
8.2.3
正项级数的比值审敛法
8.2.4
正项级数的根值审敛法
8.2.5
*正项级数的积分审敛法
8.2.6
习题 8-2
8.3
任意项级数
8.3.1
交错级数与莱布尼茨审敛法
8.3.2
任意项级数的绝对值审敛法
8.3.3
绝对收敛级数的性质
8.3.3.1
项的重排
8.3.3.2
级数的相乘
8.3.4
习题 8-3
8.4
幂级数
8.4.1
函数项级数
8.4.2
幂级数与幂级数的收敛区间
8.4.3
幂级数的代数性质与解析性质
8.4.3.1
幂级数的代数性质
8.4.3.2
幂级数的解析性质
8.4.4
习题 8-4
8.5
函数展开为幂级数 幂级数的若干应用
8.5.1
泰勒级数
8.5.2
函数展开成幂级数的方法
8.5.2.1
直接展开法 (也称泰勒级数法)
8.5.2.2
间接展开法
8.5.3
幂级数的若干应用
8.5.3.1
求函数的极限
8.5.3.2
求函数的近似值
8.5.3.3
求积分的近似值
8.5.3.4
求常数项级数的和
8.5.4
欧拉公式
8.5.5
习题 8-5
8.6
函数项级数的一致收敛性
8.6.1
一致收敛的概念
8.6.2
函数项级数一致收敛的审敛法
8.6.3
一致收敛级数的解析性质
8.6.4
幂级数的一致收敛性
8.6.5
习题8-6
8.7
傅里叶级数
8.7.1
三角函数系的正交性及三角级数
8.7.2
函数的傅里叶级数
8.7.3
傅里叶级数的收敛性定理——狄利克雷(Dirichlet) 充分条件
8.7.4
正弦级数与余弦级数
8.7.4.1
奇延拓
8.7.4.2
偶延拓
8.7.5
一般周期函数的傅里叶级数
8.7.6
*傅里叶级数的复数形式
8.7.7
习题 8-7
8.8
本 章 小 结
8.8.1
主要内容
8.8.2
基本要求
8.8.3
学习指导
8.8.4
自我检测题 8
8.8.5
复习 题 8
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.
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