Section 5.6 本章小结
Subsection 5.6.1 主要内容
本章内容可分为不定积分的概念和不定积分的计算两个部分.
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不定积分的概念, 具体包括:
- 原函数与不定积分;
- 原函数的存在性定理及初等函数的原函数问题.
- 不定积分的计算 计算不定积分的核心是分析被积函数的特点, 主要方法包括:
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直接积分法直接积分法是根据代数或三角恒等变形,并用积分性质和基本积分公式积分的方法,这是最基本的积分方法.
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第一换元法 (又称凑微分法)其关键是把被积表达式 \(g(x) \mathrm{d} x\) 凑成基本积分表中已有的形式 \(f(u) \mathrm{d} u\text{.}\)
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第二换元法\(\displaystyle \int g(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int g[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\) 是用替换 \(x=\varphi(t)\) 把积分 \(\displaystyle \int g(x) \mathrm{d} x\) 化为积分变量为 \(t\) 的积分 \(\displaystyle \int g[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t\text{.}\)
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分部积分法分部积分法是求积分的另一种基本方法, 其关键是选择恰当的 \(u\) 和 \(\mathrm{d} v\text{,}\) 再利用公式归结为求 \(\displaystyle \int \mathrm{d} v\) 及 \(\displaystyle \int v \mathrm{~d} u\text{,}\) 而这两个积分是易求出的.
- 有理函数的不定积分主要是计算有理真分式的不定积分.
- 三角函数有理式是一类可以通过变换转化成有理函数积分的类型.
- 简单无理函数是一类通过变换后可转化成有理函数的函数类型.
- 积分表是按照被积函数的类型排列的,求积分时可根据被积表达式的类型直接或经过简单的变形后,在表内查到所需的结果.
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Subsection 5.6.2 2. 基本要求
- 正确理解原函数与不定积分的概念及原函数与不定积分的关系.
- 掌握不定积分的性质及其几何意义.
- 牢记基本积分公式及不定积分的基本法则.
- 掌握并能熟练运用换元法与分部积分法计算不定积分.
- 会计算有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分.
Subsection 5.6.3 学习指导
本章的重点是原函数与不定积分的概念以及不定积分的计算.
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不定积分的概念设 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数, 即 \(F^{\prime}(x)=f(x)\) 或 \(\mathrm{d} F(x)=f(x) \mathrm{d} x\text{,}\) 则 \(f(x)\)有无穷多个原函数, 且它的任意两个原函数之间只相差一个常数, 函数 \(f(x)\) 的原函数的一般表达式 \(F(x)+C\) ( \(C\) 为任意常数) 称为 \(f(x)\) 的不定积分, 即 \(\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=\) \(F(x)+C\text{.}\)
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重要结论原函数的存在性: 若 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续,则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上存在原函数 \(F(x)\text{.}\) 初等函数的原函数：一切初等函数在其定义区间内必存在原函数,但它的原函数不一定是初等函数.
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不定积分的计算求不定积分相对于求导数要难得多, 尽管也有一些规律可循, 但在具体应用时却十分灵活.一般通过恒等变形、变量替换、分部积分等将所给不定积分转化为基本积分表中的形式. 在积分中,换元积分法和分部积分法是两种基本方法. 特别是换元积分法, 既基本又灵活, 必须多下功夫, 多加练习, 积累经验. 同一个积分, 求解的途径往往不止一种, 需要灵活运用所学的方法, 选择简便的途径, 并善于总结.
- 使用分部积分法需要掌握下列三种技巧:
- 回归法: 通过若干次分部积分后又出现原积分, 从而解得原积分.
- 拆项法: 有的积分拆项后出现不能用初等函数表示的积分, 但通过将这样的积分中的两项相互抵消,也能求出原积分.
- 递推法: 有些积分, 如 \(\displaystyle \int \sin ^{n} x \mathrm{~d} x, \displaystyle \int \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, \displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n}}\) 等,可用分部积分法推得递推公式.
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凑微分法凑微分法是一种熟能生巧的技巧性方法. 只有通过足够的练习, 才能深谙其间的奥妙,并运用自如. 通过熟悉被积函数的形式,可体会凑微分中“凑”的要点.本章总结了一些常用凑微分法求解的基本不定积分的类型, 要求熟练掌握, 融会贯通.
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有理函数的积分通过恒等变形和替换, 可将三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分化为有理函数的积分.
- 积分表的使用 根据基本积分公式和各种积分方法, 可以求出许多函数的不定积分, 但在工 程技术中遇到的积分问题,仅靠这些积分方法还不能完全解决. 为满足需要和使用方便起见,往往把常用的积分公式汇集成表,以供查阅.
Subsection 5.6.4 自我检测题 5
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选择题.
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如果 \(\displaystyle \int \mathrm{d} f(x)=\displaystyle \int \mathrm{d} g(x)\text{,}\) 那么下列各式中不一定成立的是 ( ).A. \(f(x)=g(x)\text{;}\) B. \(f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\text{;}\) C. \(\mathrm{d} f(x)=\mathrm{d} g(x)\text{;}\) D. \(\mathrm{d} \displaystyle \int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\mathrm{d} \displaystyle \int g^{\prime}(x) \mathrm{d} x\text{.}\)
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如果 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数, \(C\) 为常数, 那么下列各式中为 \(f(x)\) 的不定积分的是 ( )A. \(F(x)\text{;}\) B. \(C F(x)\text{;}\) C. \(F\left(\frac{x}{C}\right)\text{;}\) D. \(F(x)+C\text{.}\)
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若 \(\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=x^{2}+C\text{,}\) 则 \(f(x)=(\quad)\text{.}\)A. \(2 x\text{;}\) B. \(2 x+1\text{;}\) C. \(\frac{1}{3} x^{3}\text{;}\) D. \(x\text{.}\)
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若 \(F^{\prime}(x)=f(x)\text{,}\) 则下列等式成立的是 ( ).A. \(\displaystyle \int F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)+C\text{;}\) B. \(\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C\text{;}\) C. \(x \displaystyle \int F(x) \mathrm{d} x=f(x)+C\text{;}\) D. \(\displaystyle \int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F(x)+C\text{.}\)
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填空题.
- 设 \(\frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\mathrm{d} F(x)\text{,}\) 则 \(F(x)=\underline{\qquad\qquad}.\)
- \(\displaystyle \displaystyle \int x \sqrt[3]{x} \mathrm{~d} x=\underline{\qquad\qquad}.\)
- \(\displaystyle \displaystyle \int 4^{x} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\underline{\qquad\qquad}.\)
- 若 \(\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C\text{,}\) 则 \(\displaystyle \int f(3 x+5) \mathrm{d} x=\underline{\qquad\qquad}.\)
- \(\displaystyle \displaystyle \int\left(\mathrm{e}^{x}+x^{\mathrm{e}}\right) \mathrm{d} x=\underline{\qquad\qquad}.\)
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计算题.
- \(\displaystyle \int(3 x-8)^{20} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{1}{2 x^{2}+9} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \mathrm{e}^{x}\left(1-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{1}{x \sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int x^{2} \ln x \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{x^{2}}{x-2} \mathrm{~d} x\text{.}\)
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求下列各积分：
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{1-x^{2}}}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\sec ^{2}(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \sin \sqrt{x+1} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- 设 \(f^{\prime \prime}(x)\) 是连续函数, 求 \(\displaystyle \int x f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x\text{.}\)
- 设曲线 \(y=f(x)\) 上任一点 \((x, y)\) 处的切线斜率为 \(\frac{1}{\sqrt{x+1}}\text{,}\) 且此曲线通过点 \((3,2)\text{,}\) 求该曲线的方程.
Subsection 5.6.5 复习题
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求下列不定积分:
- \(\displaystyle \int x \sqrt[3]{1-3 x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\mathrm{e}^{x}}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+2+2 \mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{x^{4}+1}{x^{6}+1} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\sin 2 x \mathrm{~d} x}{\sqrt{4-\cos ^{4} x}}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\ln \tan x}{\cos x \sin x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}}}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{2^{x} 3^{x}}{9^{x}-4^{x}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^{2}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{2+\sqrt{1-x^{2}}}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{a^{2}+x^{2}}}(a>0)\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x-x^{2}}}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\ln x}{(x-2)^{2}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \arctan (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-2}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \sin (\ln x) \mathrm{d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int x \arctan x \ln \left(1+x^{2}\right) \mathrm{d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{x^{9}-8}{x^{10}+8 x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{3}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+1} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{4}-2 x^{2}+1}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{2 x+2}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\cos ^{2} x}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{1+\sin x}{\sin 3 x+\sin x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{3 \sin x+4 \cos x}{2 \sin x+\cos x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{5+4 \cos x}{(2+\cos x)^{2} \sin x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\sin 2 x}{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(2+\sin ^{2} x\right) \cos x}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\sin x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x+\sqrt{x^{2}-1}}\text{.}\)
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试解下列各题.（1） \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上可导, \(f(1)=0, f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)=\mathrm{e}^{3 x}+2\text{,}\) 求 \(f(x)\text{.}\)
- \(f^{\prime}(\ln x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0<x \leqslant 1, \\ x, & 1<x+\infty,\end{array}\right.\) 求 \(f(\ln x)\text{.}\)
- 设 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数, \(F(1)=\frac{\sqrt{2}}{4} \pi\text{,}\) 若当 \(x>0\) 时, \(f(x) F(x)=\) \(\frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)}\text{,}\) 求 \(f(x)\text{.}\)
- 设 \(y=y(x)\) 是由 \(y^{2}(x-y)=x^{2}\) 所确定的隐函数,求 \(\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{y^{2}}\text{.}\)
- 设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续,在 \((a, b)\) 内可导, 且对任意的 \(x \in(a, b)\) 有 \(g^{\prime}(x) \neq 0\text{,}\)证明:
- 对于 \([a, b]\) 上任意两个不同的点 \(x_{1}\) 及 \(x_{2}\text{,}\) 有 \(g\left(x_{1}\right) \neq g\left(x_{2}\right)\text{.}\)
- 至少存在一点 \(\xi \in(a, b)\text{,}\) 使得 \(\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}\text{.}\)
（6）已知函数 \(y=f(x)\) 有极值 2 , 其图形过点 \((0,3)\text{,}\) 其导函数 \(f^{\prime}(x)\) 的图形是过点 \((1,0)\) 且不平行于 \(y\) 轴的直线, 求 \(f(x)\text{.}\)- 求下列不定积分 \(\displaystyle \int\left\{\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}-\frac{f^{2}(x) f^{\prime \prime}(x)}{\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}}\right\} \mathrm{d} x\text{.}\)
