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高等数学: 数字教材

T,谭易兰, C

Section 1.3 函数的连续性和间断点

客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的,而且其运动变化的过程往往 是连续不断的. 例如气温随着时间的变化而连续地变化; 运动物体的运行路程随着时间的增加而连续不断地增长; 树木的高度随着时间的增加而连续不断地变化. 这种现象反映在函数关系上就是函数的连续性. 这类函数的图形是一条连续不断的曲线. 连续函数不仅是微积分的研究对象, 而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等往往都要求函数具有连续性.

Subsection 1.3.1 函数的连续性

设函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的某一邻域内有定义，当自变量由 \(x_{0}\) 变到 \(x\) 时, 函数值从 \(f\left(x_{0}\right)\) 变到 \(f(x)\text{,}\) 称 \(\Delta x=x-x_{0}\) 为自变量 \(x\) 的增量, \(\Delta y=\) \(f(x)-f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\) 为函数的增量 (见图 1-24).

Definition 1.3.1.

定义 1 设函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的某邻域内有定义,若 \(\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=0\text{,}\) 则称函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处连续.
由于 \(\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\right]=0\) 等价于 \(\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} f\left(x_{0}+\Delta x\right)=\) \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)\text{,}\) 所以函数的连续性有下面的等价定义.

Definition 1.3.2.

定义 \(\mathbf{1}^{\prime}\) 设函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的某邻域内有定义, 若 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)\text{,}\)则称函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处连续.
由此可见,函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处连续必须满足以下 3 个条件:
  1. \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 有定义,即有确定的函数值 \(f\left(x_{0}\right)\text{;}\)
  2. 极限 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) 存在;
  3. 极限 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) 等于函数值 \(f\left(x_{0}\right)\text{.}\)
根据极限的 \(\varepsilon-\delta\) 定义,函数的连续性还可以有下面的定义.

Definition 1.3.3.

定义 \(1^{\prime \prime}\) 设函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的某邻域内有定义,若对于任意给定的 \(\varepsilon>0\text{,}\) 存在 \(\delta>0\text{,}\) 使适合 \(\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 的一切 \(x\text{,}\) 有 \(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\text{,}\) 则称函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处连续.
需要指出, 在Definition 1.3.3 中不等式 \(\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 与极限定义中的 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 不同 (取消了大于零的限制), 这是因为在考虑连续问题时, \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 必须有定义,当 \(x=x_{0}\) 时 \(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\) 必然成立. 函数在一点处的单侧连续性的概念可利用函数在该点的单侧极限来定义.

Definition 1.3.4.

定义 2 若 \(\lim\limits_{-} f(x)=f\left(x_{0}\right)\text{,}\) 即 \(f\left(x_{0}-0\right)=f\left(x_{0}\right)\text{,}\) 则称 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处左连续; 若 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=f\left(x_{0}\right)\text{,}\) 即 \(f\left(x_{0}+0\right)=f\left(x_{0}\right)\text{,}\) 则称 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处右连续.
由此可得, 函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处连续的充分必要条件是 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处既左连续又右连续, 即 \(f\left(x_{0}-0\right)=f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+0\right)\text{.}\)

Definition 1.3.5.

定义 3 若函数 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内每一点都连续,则称 \(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内连续; 若函数 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内连续,在 \(x=a\) 处右连续,在 \(x=b\) 处左连续,则称函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续.
显然, 对于常量函数 \(y=C\text{,}\) 由于对任一 \(x_{0} \in(-\infty,+\infty)\text{,}\) 有 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} C=C\text{,}\) 所以常量函数 \(y=C\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内连续.

Example 1.3.6.

例 1 证明函数 \(y=\sin x\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内连续.
Solution.
证 函数 \(f(x)=\sin x\) 定义域为 \((-\infty,+\infty)\text{,}\) 任取 \(x_{0} \in(-\infty,+\infty)\text{,}\) 利用三角函数和差化积公式,有
\begin{equation*} \Delta y=\sin \left(x_{0}+\Delta x\right)-\sin x_{0}=2 \sin \frac{\Delta x}{2} \cos \left(x_{0}+\frac{\Delta x}{2}\right) \end{equation*}
由于 \(\Delta x \rightarrow 0\) 时, \(\sin \frac{\Delta x}{2} \sim \frac{\Delta x}{2},\left|\cos \left(x_{0}+\frac{\Delta x}{2}\right)\right| \leqslant 1\text{,}\) 而有界量与无穷小之积仍为无穷小,所以
\begin{equation*} \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\left[\sin \left(x_{0}+\Delta x\right)-\sin x_{0}\right]=0 . \end{equation*}
由定义知, \(f(x)=\sin x\) 在 \(x_{0}\) 连续. 又由点 \(x_{0}\) 的任意性可知, 函数 \(f(x)=\sin x\)在 \((-\infty,+\infty)\) 内连续. 同理可证 \(y=\cos x\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内连续.

Example 1.3.7.

例 2 证明函数 \(y=a^{x}(a>0, a \neq 1)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内连续.
Solution.
证 函数 \(y=a^{x}\) 定义域为 \((-\infty,+\infty)\text{,}\) 任取 \(x_{0} \in(-\infty,+\infty)\text{,}\) 则
\begin{equation*} \Delta y=a^{x_{0}+\Delta x}-a^{x_{0}}=a^{x_{0}}\left(a^{\Delta x}-1\right) . \end{equation*}
而当 \(\Delta x \rightarrow 0\) 时, \(a^{\Delta x}-1 \sim \Delta x \ln a\text{,}\) 所以有
\begin{equation*} \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} a^{x_{0}}\left(a^{\Delta x}-1\right)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\left(a^{x_{0}} \cdot \Delta x \ln a\right)=0 . \end{equation*}
由 \(x_{0}\) 的任意性得 \(y=a^{x}(a>0, a \neq 1)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内连续. 特别地, 当 \(a=\mathrm{e}\) 时, \(y=\mathrm{e}^{x}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内连续.

Example 1.3.8.

例 3 设 \(f(x)\) 是定义于 \([a, b]\) 上的单调增加函数, \(x_{0} \in(a, b)\text{,}\) 如果 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)\)存在, 试证明函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 处连续.
Solution.
证 设 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A\text{,}\) 由于 \(f(x)\) 单调增加,则 当 \(x<x_{0}\) 时, \(f(x)<f\left(x_{0}\right), A=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x) \leqslant f\left(x_{0}\right)\text{;}\) 当 \(x>x_{0}\) 时, \(f(x)>f\left(x_{0}\right), A=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)\text{,}\) 由此可见, \(A=f\left(x_{0}\right)\text{,}\) 即 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)\text{,}\) 因此 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 连续.

Example 1.3.9.

例 4 讨论函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\frac{x}{2}, \amp x< 0, \\ 0, \amp x=0, \\ 1+x^2, \amp 0< x< 1, \\ 4-x, \amp x> 1\end{array}\right.\) 在 \(x=0\) 和 \(x=1\) 处的连续性.
Solution.
解 在 \(x=0\) 处: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}}\left(1+\frac{x}{2}\right)=1, \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+x^{2}\right)=1\text{,}\) 所以
\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)=1 \end{equation*}
但是 \(f(0)=0, \lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) \neq f(0)\text{,}\) 故 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处不连续. 在 \(x=1\) 处: \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}}\left(1+x^{2}\right)=2, \lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}}(4-x)=3\text{,}\)所以 \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) \neq \lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)\text{,}\) 即 \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} f(x)\) 不存在,故 \(f(x)\) 在 \(x=1\) 处不连续.

Subsection 1.3.2 函数的间断点及其分类

由 1.3.1 已知函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点连续必须满足 3 个条件,如果其中有一个条件不满足, 即如果有下列 3 种情况之一:
  1. \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点无定义;
  2. 极限 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) 不存在;
  3. 极限 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) 存在, 但极限值不等于函数值,那么 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点不连续.

Definition 1.3.10.

定义 4 函数 \(f(x)\) 的不连续点称为 \(f(x)\) 的间断点.
函数的间断点通常分为两类.

Subsubsection 1.3.2.1 第一类间断点

若函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点的左、右极限都存在, 但 \(x_{0}\) 是 \(f(x)\) 的间断点,则称 \(x_{0}\) 是 \(f(x)\) 的第一类间断点. 若函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点的左、右极限都存在, 但是 \(f\left(x_{0}-0\right) \neq f\left(x_{0}+0\right)\text{,}\) 则称 \(x_{0}\) 是 \(f(x)\) 的跳跃间断点; 若 \(f\left(x_{0}-0\right)=f\left(x_{0}+0\right)\text{,}\) 但是 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点没有定义或 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \neq f\left(x_{0}\right)\text{,}\) 则称 \(x_{0}\) 是 \(f(x)\) 的可去间断点.

Subsubsection 1.3.2.2 第二类间断点

若函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点的左、右极限中至少有一个不存在, 则称 \(x_{0}\) 为 \(f(x)\) 的第二类间断点.
下面举例说明函数间断点的不同类型.
Example 1.3.11.
例 5 指出下列函数 \(f(x)\) 的间断点及其类型:
(1) \(f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2, \\ 0, \quad x=2 ;\end{array}\right.\)
(2) \(f(x)=\frac{\sin x}{x}\text{.}\)
Solution.
解 (1) 因为 \(\lim\limits_{x \rightarrow 2} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim\limits_{x \rightarrow 2}(x+2)=4\text{,}\)而 \(f(2)=0\text{,}\) 所以 \(x=2\) 是函数的间断点. 又因为 \(f(x)\) 在 \(x=2\) 的左、右极限存在,所以 \(x=2\) 是函数的可去间断点 (见图 1-25).
如果改变 \(f(x)\) 在 \(x=2\) 处的定义,令 \(f(2)=4\text{,}\) 即
\begin{equation*} f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & x \neq 2, \\ 4, & x=2,\end{cases} \end{equation*}
那么 \(f(x)\) 在 \(x=2\) 处就连续了.
（2）因为 \(f(x)=\frac{\sin x}{x}\) 在 \(x=0\) 无定义,所以 \(x=0\) 为 \(f(x)\) 的间断点. 又 \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\text{,}\) 故 \(x=0\) 为 \(f(x)\) 的可去间断点 (见图 1-26). 如果补充定义 \(f(0)=1\text{,}\)即
\begin{equation*} f(x)= \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{cases} \end{equation*}
那么 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 点就连续了.
由此可见,若 \(x_{0}\) 是 \(f(x)\) 的可去间断点,则可以补充或改变函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点的定义,使得 \(f\left(x_{0}\right)=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)\text{,}\) 则新的函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 点就连续了.
Example 1.3.12.
例 6 设 \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \leqslant 0, \\ x+2, & x>0,\end{array}\right.\) 因为 \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\) \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}(x+2)=2, \lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} x^{2}=0\text{.}\) 所以 \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的跳跃间断点 (见图 1-27).
Example 1.3.13.
例 7 设 \(f(x)=\frac{1}{x-1}\text{,}\) 因为 \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty\text{,}\) \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=+\infty\text{,}\) 所以 \(x=1\) 为 \(f(x)\) 的第二类间断(见图 1-28)
\(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)\) 与 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)\) 中至少有一个为 \(\infty\) 的间断点 \(x_{0}\) 称为 \(f(x)\) 的无穷间断点.
Example 1.3.14.
例 8 设 \(f(x)=\sin \frac{1}{x}\text{,}\) 因为 \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}\) 不存在, 也不为 \(\infty\) (见图 1-29), 所以 \(x=0\) 为 \(f(x)\) 的第二类间断点. 当 \(x \rightarrow 0\) 时,函数 \(f(x)\) 的值在 -1 与 +1 之间来回摆动, 所以 \(x=0\) 称为 \(f(x)=\sin \frac{1}{x}\) 的振荡间断点.
注意 一个函数的间断点也可能有无穷多个. 例如, 狄利克雷函数
\begin{equation*} y=D(x)= \begin{cases}1, & \text { 当 } x \text { 是有理数时, } \\ 0, & \text { 当 } x \text { 是无理数时 }\end{cases} \end{equation*}
在定义域 \((-\infty,+\infty)\) 内每一点处都间断，且都是第二类间断点.

Subsection 1.3.3 连续函数的运算

函数的连续性是通过极限来定义的, 根据极限运算法则, 可推得下列连续函数的性质.

Proof.

证 由已知条件, \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right), \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=g\left(x_{0}\right)\text{,}\) 根据函数极限四则运算法则得
\begin{equation*} \begin{aligned} & \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \pm g(x)]=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \pm \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=f\left(x_{0}\right) \pm g\left(x_{0}\right), \\ & \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot g(x)]=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \cdot \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=f\left(x_{0}\right) \cdot g\left(x_{0}\right), \end{aligned} \end{equation*}
\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)}{\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)}=\frac{f\left(x_{0}\right)}{g\left(x_{0}\right)} \quad\left(g\left(x_{0}\right) \neq 0\right) \end{equation*}
所以, 函数 \(f(x) \pm g(x), f(x) \cdot g(x), \frac{f(x)}{g(x)}\left(g\left(x_{0}\right) \neq 0\right)\) 都在点 \(x_{0}\) 处连续.
容易推出, 如果函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \(I\) 上连续, 那么函数 \(f(x) \pm g(x)\text{,}\) \(f(x) \cdot g(x)\) 在区间 \(I\) 上都连续, \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 在 \(I \backslash\{x \mid g(x)=0\}\) 上连续.

Example 1.3.18.

例 9 证明: 有理函数 \(R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\text{,}\) 其中 \(P(x), Q(x)\) 为多项式, 在其定义区间 \(I\) 内的任一点处都是连续的.
Solution.
证 因为 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} x^{n}=x_{0}^{n}, n\) 为正整数. 由 Theorem 1.3.15得\(P(x)\) 与 \(Q(x)\) 在 \(x_{0}\)都连续, 即 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} P(x)=P\left(x_{0}\right), \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} Q(x)=Q\left(x_{0}\right)\text{.}\) 如果 \(Q\left(x_{0}\right) \neq 0\text{,}\) 那么
\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} R(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} P(x)}{\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} Q(x)}=\frac{P\left(x_{0}\right)}{Q\left(x_{0}\right)}=R\left(x_{0}\right) \end{equation*}
从而 \(R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 在 \(x_{0}\) 连续. 由 \(x_{0}\) 的任意性可得 \(R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) 在其定义区间 \(I\)内的任一点处都是连续的.

Example 1.3.19.

例 10 三角函数 \(\tan x, \cot x, \sec x, \csc x\) 均在其定义区间 \(I\) 上连续.
事实上, 因为 \(\sin x, \cos x\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内连续, 所以 \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \cot x=\) \(\frac{\cos x}{\sin x}, \sec x=\frac{1}{\cos x}, \csc x=\frac{1}{\sin x}\) 在它们有定义的点 (即分母不为零) 处都连续.
由复合函数求极限的Theorem 1.2.45和连续函数的定义,即可得Theorem 1.3.20 的结论.可见在满足Theorem 1.3.20 的条件时, 有 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f[\varphi(x)]=f\left[\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \varphi(x)\right]\text{.}\)

Example 1.3.21.

例 11 求下列极限: (1) \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \sin \frac{1-\cos x}{x^{2}}\text{;}\) (2) \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \cos (\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\text{.}\)
Solution.
解 利用Theorem 1.3.20 有
  1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \sin \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\sin \left(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}\right)=\sin \frac{1}{2}\text{;}\)
  2. \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \cos (\sqrt{x+1}-\sqrt{x})=\cos \left[\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right]\) \(=\cos \left[\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right]=\cos 0=1\text{.}\)
事实上, 由 Theorem 1.3.20 ,有
\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f[\varphi(x)]=f\left[\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \varphi(x)\right]=f\left(u_{0}\right)=f\left[\varphi\left(x_{0}\right)\right], \end{equation*}
从而 \(f[\varphi(x)]\) 在 \(x_{0}\) 处也连续. Theorem 1.3.22 表明, 两个连续函数的复合函数仍是连续函数.
由图 1-30 可直观地看出结论成立, 证明从略.

Example 1.3.25.

例 12 证明对数函数 \(y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1)\) 在 \((0,+\infty)\) 内连续.
Solution.
证 由Example 1.3.7, \(y=a^{x}(a>0, a \neq 1)\) 在 \((-\infty,+\infty)\)内连续, 当 \(a>1(a<1)\) 单调增加 (减少). 值域 \(I^{\prime}=\) \((0,+\infty)\text{.}\) 由Theorem 1.3.24 反函数 \(x=\log _{a} y\) 在相应的区间 \(I^{\prime}=(0,+\infty)\) 内连续, 且单调增加 (减少), 即函数 \(y=\) \(\log _{a} x(a>0, a \neq 1)\) 在 \((0,+\infty)\) 内连续. 特别当 \(a=\mathrm{e}\) 时, \(y=\ln x\) 在 \((0,+\infty)\) 内连续.

Example 1.3.26.

例 13 求 \(\lim\limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \ln \left[1+\tan \left(\sin ^{2} x\right)\right]\text{.}\)
Solution.
解
\begin{equation*} \begin{aligned} \lim\limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \ln \left[1+\tan \left(\sin ^2 x\right)\right] \amp =\ln \left[1+\lim\limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan \left(\sin ^2 x\right)\right]=\ln \left[1+\tan \left(\lim\limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sin ^2 x\right)\right] \\ \amp =\ln \left[1+\tan \left(\lim\limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sin x\right)^2\right]=\ln (1+\tan 1) . \end{aligned} \end{equation*}

Example 1.3.27.

例 14 证明反三角函数 \(y=\arcsin x, y=\arccos x\) 在 \([-1,1]\) 上连续.
Solution.
证 由于 \(y=\sin x\) 在区间 \(I=\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) 上连续且单调增加, 函数值变化范围 \(I^{\prime}=[-1,1]\text{,}\) 由Theorem 1.3.24 知, 反函数 \(x=\arcsin y\) 在区间 \(I^{\prime}\) 上连续, 即 \(y=\arcsin x\)在 \([-1,1]\) 上连续. 同理可证, \(y=\arccos x\) 在 \([-1,1]\) 上也连续. 还可以证明, 反三角函数 \(y=\arctan x, y=\operatorname{arccot} x\) 在它们的定义域内连续.

Subsection 1.3.4 初等函数的连续性

上面讨论了连续函数的定义、运算法则, 现在介绍一些常见函数的连续性. 常量函数 \(y=C\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内处处连续. 三角函数 \(\sin x, \cos x, \tan x, \cot x\) 在定义区间内连续. 反三角函数 \(\arcsin x, \arccos x, \arctan x, \operatorname{arccot} x\) 在定义区间内连续. 指数函数 \(y=a^{x},(a>0, a \neq 1)\text{,}\) 对数函数 \(y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1)\) 在定义区间内连续. 幂函数 \(y=x^{\mu}(x>0, \mu\) 为实数 \()\text{,}\) 由于 \(y=x^{\mu}=\mathrm{e}^{\mu \ln x}\text{,}\) 幂函数作为指数函数与对数函数的复合函数在 \((0,+\infty)\) 内是连续的. 可见基本初等函数在其定义区间内处处连续. 初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤而得到的可用一个式子表示的函数,因此有以下定理.
因此,对于初等函数 \(f(x)\text{,}\) 若 \(x_{0}\) 是其定义区间内的点, 则有 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\) \(f\left(x_{0}\right)\text{.}\) 例如: \(x=0\) 是初等函数 \(f(x)=\ln \left(1+\sqrt{1-x^{3}}\right)+\frac{1}{\sqrt{1-x}}\) 定义区间内的点,所以 \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)=f(0)=\ln 2+1\) ; \(x=\frac{4}{\pi}\) 是初等函数 \(f(x)=\sin \left[\frac{2}{x}\left(\tan \frac{1}{x}\right)\right]\) 定义区间内的点, 所以
\begin{equation*} \lim\limits_{x \rightarrow \frac{4}{\pi}} f(x)=f\left(\frac{4}{\pi}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2} \tan \frac{\pi}{4}\right)=\sin \frac{\pi}{2}=1 \end{equation*}
注意 Theorem 1.3.28 的结论非常重要, 因为微积分的研究对象主要是连续或分段连续的函数. 而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数, 其连续性的条件总是满足的. 这使得微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景.

Subsection 1.3.5 闭区间上连续函数的性质

在 1.3.1 中给出了函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续的概念, 这里介绍闭区间上连续函数的几个重要性质. 这些性质的证明需要更多的实数理论为基础, 但从几何图形上来看是很明显的.
从图 1-31 中可以看到曲线段 \(y=f(x)(a \leqslant x \leqslant b)\) 完全落在两条平行线 \(y=m\) 与 \(y=M\) 之间, 且 \(f\left(x_{1}\right)=m\text{,}\) \(f\left(x_2\right)=M\text{,}\) 定理的结论是成立的.
应当注意, 如果函数 \(y=f(x)\) 不满足Theorem 1.3.29 的条件, 那么结论可能不成立.
  1. 闭区间不能改为开区间. 如 \(y=x\) 虽在 \((0,1)\) 内连续, 但在 \((0,1)\) 内既无最大值也无最小值(见图 1-32).定理的结论不成立.
  2. 函数在闭区间上不连续. 如
    \begin{equation*} y=f(x)= \begin{cases}x+1, \amp -1 \leqslant x < 0, \\ 0, \amp x=0, \\ x-2, \amp 0 > x \leqslant 2\end{cases} \end{equation*}
    在 \([-1,2]\) 上有间断点 \(x=0\text{,}\) 在 \([-1,2]\) 上函数既无最大值, 又无最小值, 定理的结论不成立 (见图 1-33).

Proof.

证 因为 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续, 由Theorem 1.3.29, \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上必有最大值 \(M\) 和最小值 \(m\text{,}\) 即
\begin{equation*} m \leqslant f(x) \leqslant M, a \leqslant x \leqslant b, \end{equation*}
取 \(K=\max \{|M|,|m|\}\text{,}\) 则当 \(x \in[a, b]\) 时有
\begin{equation*} |f(x)| \leqslant K \end{equation*}
所以, \(y=f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有界.
如图 1-34 所示, 介于 \(f(a), f(b)\) 之间的数 \(\lambda_{1}, \lambda_{2}\text{,}\)对 \(\lambda_{1}\) 在 \((a, b)\) 内存在数 \(\xi_{1}\text{,}\) 使 \(f\left(\xi_{1}\right)=\lambda_{1}\text{,}\) 曲线 \(y=f(x)\)与直线 \(y=\lambda_{1}\) 有一个交点; 对于 \(\lambda_{2}\text{,}\) 在 \((a, b)\) 内存在数 \(\xi_{2}, \xi_{3}, \xi_{4}\text{,}\) 使 \(f\left(\xi_{2}\right)=f\left(\xi_{3}\right)=f\left(\xi_{4}\right)=\lambda_{2}\text{,}\) 曲线 \(y=f(x)\)与直线 \(y=\lambda_{2}\) 有 3 个交点.
由介值定理可以得到两个很有用的推论.
事实上, 由于函数 \(f(x)\) 在两端点函数值异号, 即 \(f(a) \cdot f(b)<0, \lambda=0\) 是介于 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) 之间的一个数, 由介值定理Theorem 1.3.31 , 在 \((a, b)\) 内至少存在一点 \(\xi\text{,}\) 使 \(f(\xi)=\lambda=\) 0 , 即方程 \(f(x)=0\) 在 \((a, b)\) 内至少有一个实根 \(x=\xi\text{.}\) 因此,Corollary 1.3.32 常被用来证明方程有实根的依据.
事实上, 由最大值、最小值定理Theorem 1.3.29 , 在 \([a, b]\) 上存在点 \(x_{1}, x_{2}\text{,}\) 使
\begin{equation*} f\left(x_{1}\right)=m, f\left(x_{2}\right)=M(m \neq M), \end{equation*}
那么,在 \(\left[x_{1}, x_{2}\right]\) 或 \(\left[x_{2}, x_{1}\right]\) 上应用介值定理Theorem 1.3.31 ,就可得到Corollary 1.3.33 的结果.

Example 1.3.34.

例 15 证明方程 \(x^{2}-x \ln x-2=0\) 在 \((1,2)\) 内至少有一个实根.
Solution.
证 设 \(f(x)=x^{2}-x \ln x-2\text{,}\) 则 \(f(x)\) 在 \([1,2]\) 上连续. 因为 \(f(1)=1^{2}-1 \ln 1-2=-1<0, f(2)=2^{2}-2 \ln 2-2=2(1-\ln 2)>0\text{,}\) 所以 \(f(1) \cdot f(2)<0\text{.}\) 由零值定理Corollary 1.3.32, 在 \((a, b)\) 内至少存在一点 \(\xi\text{,}\) 使 \(f(\xi)=0\text{,}\) 即 \(x=\xi\) 为原方程的根.

Example 1.3.35.

例 16 设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续, 且 \(a \leqslant f(x) \leqslant b\text{,}\) 证明在 \([a, b]\) 上至少存在一点 \(\xi\text{,}\)使 \(f(\xi)=\xi\text{.}\)
Solution.
证 要证明的结论可改写为 \(f(\xi)-\xi=0\text{.}\) 由此可设 \(F(x)=f(x)-x\text{,}\) 显然, \(F(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续, 且 \(F(a)=f(a)-a \geqslant 0, F(b)=f(b)-b \leqslant 0\text{.}\) 若 \(F(a)=0\) 或 \(F(b)=0\text{,}\)则 \(\xi=a\) 或 \(\xi=b\text{,}\) 结论成立. 若 \(F(a)>0, F(b)<0\text{,}\) 即 \(F(a) \cdot F(b)<0\text{,}\) 则由零值定理Corollary 1.3.32, 在 \((a, b)\) 内至少存在一点 \(\xi\text{,}\) 使 \(F(\xi)=f(\xi)-\xi=0\text{,}\) 即 \(f(\xi)=\xi\text{.}\)

Subsection 1.3.6 一致连续性的概念

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) (闭的或非闭的, 有限的或无穷的) 上有定义,而且在该区间上点 \(x_{0}\) 处连续, 则 \(\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)\text{,}\) 即对于任意的 \(\varepsilon>0\text{,}\) 必能求出 \(\delta>0\text{,}\) 使满足 \(\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 的一切 \(x\text{,}\) 有 \(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\text{.}\) 若 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 内连续, 即在 \(I\) 上每一点 \(x_{0}\) 处都连续, 则对于 \(I\) 上任一点 \(x_{0}\text{,}\) 必能按给定的 \(\varepsilon\text{,}\) 分别求出符合上述意义的 \(\delta\text{.}\)一般地, 这个 \(\delta\) 不仅与 \(\varepsilon\) 有关,而且与所取定的点 \(x_{0}\) 有关. 也就是说,即使 \(\varepsilon\) 不变,对于 \(I\) 上点 \(x_{0}\) 适用的 \(\delta\text{,}\) 对于 \(I\)上另一个点 \(x_{1}\) 就不一定适用. 若只考虑区间 \(I\) 上的有限个点 \(x_{i}\text{,}\) 当 \(\varepsilon\) 不变动时, 则由有限个 \(\delta_{i}\) 内可以选出最小的一个 \(\delta\text{,}\)而这个 \(\delta\) 显然适用于所考察的各个点 \(x_{i}\text{.}\) 若考虑区间 \(I\) 上的无穷多个点 \(x_{i}\text{,}\) 当 \(\varepsilon\) 不变动时, 由无穷多个 \(\delta_{i}\) 不一定能选出最小的一个. 于是产生一个问题, 即对于在区间 \(I\) 上连续的函数 \(f(x)\text{,}\) 是否存在这样的 \(\delta\text{,}\) 能适用 \(I\) 上一切点 \(x_{i}\) 呢? 如果存在这样的 \(\delta\text{,}\) 就认为函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是一致连续的.

Definition 1.3.36.

定义 5 设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义,若对于任意的数 \(\varepsilon>0\text{,}\) 总能找出数 \(\delta>0\text{,}\) 使得对于区间 \(I\) 上的任意两个点 \(x_{0}\) 与 \(x\text{,}\) 当 \(\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时, 恒有 \(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\) 成立,则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续.
如果函数是一致连续的, 数 \(\delta\) 只依赖于 \(\varepsilon\text{,}\) 它可以适用区间 \(I\) 上的一切点 \(x_{0}\text{.}\)在区间 \(I\) 上的任何部分, 只要自变量的两个数值达到一定的接近程度, 就足以使对应的函数值达到所需要的接近程度. 可见一致连续的条件强于连续的条件, 即函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续, 则 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上必定连续. 但是, 在区间 \(I\) 上连续的函数, 不一定能推出它在区间 \(I\) 上一致连续.

Example 1.3.37.

例 17 \(f(x)=\sin \frac{1}{x}\) 在区间 \(\left(0, \frac{2}{\pi}\right]\) 上处处连续,但不是一致连续的.
Solution.
证 事实上, \(f(x)\) 是初等函数, 它在 \(\left(0, \frac{2}{\pi}\right]\) 上是有定义的, 所以它在 \(\left(0, \frac{2}{\pi}\right]\)上是连续的. 任给 \(\varepsilon>0(0<\varepsilon<1)\text{,}\) 假设 \(f(x)=\sin \frac{1}{x}\) 在区间 \(\left(0, \frac{2}{\pi}\right]\) 上是一致连续的, 则对于这个 \(\varepsilon\text{,}\) 应能找到 \(\delta>0\text{,}\) 使得对于区间 \(\left(0, \frac{2}{\pi}\right]\) 上的任意两个值 \(x_{0}\) 与 \(x\text{,}\) 只要 \(\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时, 就有 \(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\text{.}\) 现在对于上述 \(\varepsilon>0\text{,}\) 无论怎样取 \(\delta>0\text{,}\) 只要令 \(x_{0}=\frac{1}{n \pi}, x=\frac{2}{(2 n+1) \pi}(n\) 是任意的正整数), 就有
\begin{equation*} \left|x-x_{0}\right|=\left|\frac{2}{(2 n+1) \pi}-\frac{1}{n \pi}\right|=\frac{1}{n(2 n+1) \pi}, \end{equation*}
只要 \(n\) 足够大 \(\left(\right.\) 如 \(\left.n>\left[\sqrt{\frac{1}{\pi \delta}}\right]\right)\text{,}\) 总能使
\begin{equation*} \left|x-x_{0}\right|=\frac{1}{n(2 n+1) \pi}<\delta, \end{equation*}
但这时 \(f\left(x_{0}\right)=\sin n \pi=0, f(x)=\sin \left[(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right]= \pm 1\text{,}\) 而
\begin{equation*} \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|=1>\varepsilon, \end{equation*}
显然不符合函数 \(f(x)\) 在区间上一致连续的定义, 因此 \(f(x)=\sin \frac{1}{x}\) 在区间 \(\left(0, \frac{2}{\pi}\right]\) 上不是一致连续的.
函数 \(f(x)\) 在区间上是否一致连续, 取决于能否找到一致可用的 \(\delta\text{.}\) 那么在什么情况下, 能使函数 \(f(x)\) 一致连续呢? 上例说明在非闭区间上的连续函数, 不一定能推出它在该区间上是一致连续的. 但对于闭区间上的连续函数,一定有以下定理.

Proof.

证明从略.

Subsection 1.3.7 SageMath代码举例

问题1: 给定函数\(y=f(x)\text{,}\) 如何求在某点处的极限？
我们求函数\(y=\frac{|x|}{x}\)在点\(x=0\)处的左极限和右极限。
问题2: 如何求函数\(f(x)\)的零点?

Exercises 判断题

1.
    \(y=\frac{|x|}{x}\)在点\(x=0\)处极限存在.

  • True.

  • 极限存在当且仅当左右极限存在且相等.

  • False.

  • 极限存在当且仅当左右极限存在且相等.

Subsection 1.3.8 本节知识图谱

Figure 1.3.39. 第一章第三节知识图谱

Subsection 1.3.9 习题1-3

  1. 研究下列函数在指定点处的连续性:
    1. \(f(x)= \begin{cases}x^{3}, & -1 \leqslant x \leqslant 1 \\{1,} &{x>1 \text { 或 } x<-1} \end{cases}\)在\(x=-1\text{,}\) \(x=1\)处.
    2. \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x}, & x<0, \\ x^{2}+1, & x \geqslant 0\end{array}\right.\) 在 \(x=0\) 处.
  2. 指出下列函数间断点的类型, 若是可去间断点, 则补充或改变函数的定义,使其连续:
    1. \(f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}\text{;}\)
    2. \(f(x)=\frac{x-2}{x^{2}-4}\text{;}\)
    3. \(f(x)=\frac{1-\cos x}{x^{2}}\text{;}\)
    4. \(f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}\text{;}\)
    5. \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}}{3}, & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ 3-x, & 0<x \leqslant 1 ;\end{array} \quad\right.\)
    6. \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\tan x}{x}, & x \neq k \pi, \\ 0, & x=k \pi\end{array}(k \in \mathbf{Z})\right.\text{.}\)
  3. 确定常数 \(a, b\text{,}\) 使下列函数连续:
    1. \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x+a, & x>0 ;\end{array} \quad\right.\)
    2. \(\displaystyle f(x)= \begin{cases}x \sin x+\mathrm{e}, & x<0, \\ a, & x=0, \\ (1+x)^{\frac{1}{x},} & x>0 ;\end{cases}\)
    3. \(\displaystyle f(x)= \begin{cases}\frac{\ln (1-3 x)}{b x}, & x<0, \\ 2, & x=0, \\ \frac{\sin a x}{x}, & x>0 .\end{cases}\)
  4. 讨论函数 \(f(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1-\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}\) 的连续性, 若有间断点, 判别其类型.
  5. 求下列极限:
    1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} \cos \frac{x^{2}-1}{x-1}\text{;}\)
    2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0}(1+x)^{\cos x}\text{;}\)
    3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+a)-\ln a}{x}\text{;}\)
    4. \(\lim\limits_{x \rightarrow \mathrm{e}} \frac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}\text{;}\)
    5. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2 x}}{x}\text{;}\)
    6. \(\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{a}}{x-a}\text{.}\)
  6. 证明: 若 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 连续, 且 \(f\left(x_{0}\right) \neq 0\text{,}\) 则存在 \(\delta>0\text{,}\) 当 \(x \in U\left(x_{0}, \delta\right)\) 时, \(f(x) \neq 0\text{.}\)
  7. 证明: 方程 \(x \cdot 2^{x}=1\) 至少有一个小于 1 的正根.
  8. 证明: 方程 \(x-a \sin x=b\) 至少有一个不超过 \(a+b\) 的正根, 其中常数 \(a>0, b>0\text{.}\)
  9. 设函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续, \(0 \leqslant f(x) \leqslant 1\text{,}\) 证明在 \([0,1]\) 上至少存在一点 \(\xi\text{,}\) 使 \(f(\xi)=\xi\text{.}\)
  10. 设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上满足李普希兹 (Lipschitz) 条件, 即任给 \(x, y \in I\text{,}\) 有 \(|f(x)-f(y)| \leqslant\) \(k|x-y|\text{,}\) 其中 \(k\) 为常数,证明: \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续.
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