高等数学: 数字教材

有限个实数相加, 其和一定存在并且是一个实数. 无限多个实数相加会出现什么结果呢? 这就是本章首先要讨论的数项级数问题. 对于数项级数,考察前 \(n\) 个数的和 (称为级数的前 \(n\) 项部分和) 的变化趋势, 当项数 \(n\) 趋于无穷大时, 若级数的部分和数列收敛则表示这个级数可以求和 (称为级数收敛), 若部分和数列发散则表示这个级数不可求和 (称为级数发散). 什么样的数项级数收敛, 什么样的数项级数发散, 收敛时如何计算其和, 这些都是数项级数涉及的基本问题. 基于数项级数理论可讨论函数项级数, 即无穷多个函数相加的问题. 当函数项级数中的变量取某一定值后, 就得到了一个数项级数. 因此, 可以讨论函数项级数在哪些点上收敛, 在哪些点上发散. 在函数项级数中, 重点研究幂级数 (级数中每一项都是幂函数) 和三角级数 (级数中每一项都是正弦函数或余弦函数) 的收敛问题以及和函数的性质, 并讨论如何将一个函数展开成幂级数 (泰勒级数) 或三角级数 (傅里叶级数).