Skip to main content\(\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R}
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Chapter 1 函数与极限
高等数学与初等数学有很大的区别, 初等数学研究的量大多是不变的量, 高等数学研究的是变化的量, 并以变量之间的依赖关系即函数关系为基本研究对象. 本章将介绍映射与函数, 函数的极限与函数的连续性等基本概念和有关的基本方法。区间和邻域是高等数学课程中主要的集合概念, 它们描述了高等数学课程中所研究函数的范围。而映射是分析学(微积分是其核心内容) 的一个重要的一般性概念, 高等数学中的函数及现代分析中的泛函和算子的概念都是映射概念的具体表现. 极限概念是本章的主要内容, 也是高等数学的核心概念和基本语言, 后面章节中很多概念都是用极限的语言定义的. 函数的连续性概念是极限作为基本工具和语言刻画与描述的第一个对象。本章内容是微积分的基础知识, 是学习后面各章节的基础。极限概念是微积分的理论基础, 极限方法是微积分的基本分析方法, 因此掌提并运用好极限方法是学好微积分的关键.
Figure 1.0.1. Introduction Audio
Project 1.0.1. 发现之路: 穷遏法(Method of exhaustion).
穷竭法（Method of Exhaustion）是一种古代数学技术，主要用于确定几何形状的面积和体积。这种方法最早由古希腊数学家如欧多克索斯发展，并被阿基米德等人广泛应用。穷竭法的核心思想是通过逐渐逼近目标形状的方式来近似计算其面积或体积.
穷竭法采用了非常接近现代微积分中积分概念的思维方式。在微积分中，我们通常通过将一个形状分割成无限小的部分（微元），然后对这些微元进行求和来计算面积或体积.
学习目标: 通过用穷竭法求面积，理解极限思想。
(a) 问题介绍.
求由曲线 \(y=x^2, y=0\)和\(x=1\)围成的图形的面积。这里的困难是: 我们无法用初等几何的知识求解图形面积。在微积分中，我们用逼近的数学思想来求该面积。
(b) 图示穷竭法.
(1). 分割: 将区间\([0,1]\)进行\(n\)等分分割. (2)取近似: 取图中红色长方形面积. (3)求和: 用长方形面积的和\(s_n\)近似代替曲边梯形面积. (4)动态观察近似值.
Figure 1.0.2. 图示穷竭法
问题: 估算\(n=4\)时, \(s_n\)的值.
下面是通过简单编程计算\(s_n\)的值.
我相信通过上述计算，你知道了数学软件在计算上的优势。但它的强大之处远非如此: 我们可以计算任意\(s_n\)的值。
你发现了关于\(s_n\)的什么规律？跟你小伙伴分享一下吧.下面，我们通过图形观察\(s_n\)的规律吧
(c) 挑战: 计算\(s_n\)的公式.
为后面计算方便，我们先计算一个数学公式\(1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2\text{.}\)
不难看出，
\begin{align*}
s_n \amp = \frac{1}{n}\left(0+\frac{1^2}{n^2}+\frac{2^2}{n^2}+\ldots+\frac{(n-1)^2}{n^2}\right)\\
\amp =\frac{1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2}{n^3}\\
\amp =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}.
\end{align*}
随着分割\(n\)的增大, \(s_n\)越来越接近\(\frac{1}{3}\text{.}\) 在本章第二节，我们会学到一种数学语言来描述上述变化。
Objectives
函数的相关概念
数列极限的概念, 性质及计算方法
函数极限的概念, 性质及计算方法
函数连续性的概念与连续函数的性质
函数间断点及其分类
