Section 7.1 定积分的元素法
用定积分来计算的量一定具有“可加性”这一特征, 即所求的“量”能分割成小量, 求出小量的近似值, 然后将它们加起来得到总量的近似值, 再用极限作为工具求出总量的精确值. 所以利用定积分解决实际问题时, 一般采用的方法是 “元素法”或称“微元法”. 定积分通常处理的问题是求非均匀分布的整体量. 解决这类问题的基本思想是“分割一近似一作和一求极限”. 即首先用分割的手段,将整体问题转化为局部问题;再在局部上“以直代曲”“以均匀代替非均匀”, 求出该量在局部上的近似值;然后加起来 (作和), 得到总量的近似值; 最后求极限, 得到总量的精确值. 为了进一步说明元素法的基本思想, 先回顾一下第 6 章引人定积分概念时讨论过的曲边梯形的面积问题. 设 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续且 \(f(x) \geqslant 0\text{,}\) 求以曲线 \(y=f(x)\) 为曲边, 底为 \([a, b]\) 的曲边梯形的面积 \(A\text{.}\) 由前述知
\begin{equation*}
A=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
求解的具体步骤如下. (1)分割: 将 \([a, b]\) 分成长度为 \(\Delta x_{i}(i=1,2, \cdots, n)\) 的 \(n\) 个小区间,得
\begin{equation*}
\left[x_{0}, x_{1}\right],\left[x_{1}, x_{2}\right], \cdots,\left[x_{n-1}, x_{n}\right], \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} .
\end{equation*}
(2)近似：将第 \(i\) 个小曲边梯形的面积 \(\Delta A_{i}\) 近似用小矩形的面积代替 (见图 7-1 阴影部分), 即
\begin{equation*}
\Delta A_{i} \approx f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i} \quad\left(x_{i-1} \leqslant \xi_{i} \leqslant x_{i}\right) .
\end{equation*}
(3)作和: 把各小曲边梯形面积相加,得曲边梯形面积 \(A\) 的近似值
\begin{equation*}
A \approx \sum\limits_{i=1}^{n} \Delta A_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}
\end{equation*}
(4)求极限: 令 \(\lambda=\max \left\{\Delta x_{i}\right\} \rightarrow 0\text{,}\) 则上述和式的极限就是曲边梯形面积 \(A\) 的精确值, 即
\begin{equation*}
A=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
在上述四个步骤中,一般简化为下面的两步： (1)分割区间,在小区间 \([x, x+\mathrm{d} x]\) 上,求出相应的“面积元素” (或“面积微元”)，即
\begin{equation*}
\Delta A \approx f(x) \mathrm{d} x \text { 或 } \mathrm{d} A=f(x) \mathrm{d} x \text {. }
\end{equation*}
(2)将此面积元素在 \([a, b]\) 上积分,便得要求的结果,即
\begin{equation*}
A=\displaystyle \int_{a}^{b} \mathrm{~d} A=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
一般地,如果某一实际问题中的待求量 \(U\) 在区间 \([a, b]\) 上具有可加性, 且与区间 \([a, b]\) 上的一个连续函数 \(f(x)\) 有关, 就可以通过定积分的方法求出该量 \(U\text{,}\)具体步骤是: （1）根据问题的具体情况,选取一个变量(例如 \(x\) )为积分变量, 确定 \(x\) 的变化区间 \([a, b]\text{,}\) 把 \([a, b]\) 分成 \(n\) 个小区间, 取其中任一小区间记作 \([x, x+\mathrm{d} x]\text{,}\) 求出相应于这个小区间的所求量 \(U\) 的微元 (称为元素)
\begin{equation*}
\mathrm{d} U=f(x) \mathrm{d} x \text {. }
\end{equation*}
（2）以 \(\mathrm{d} U=f(x) \mathrm{d} x\) 为被积表达式,在区间 \([a, b]\) 上作定积分,写出所求量 \(U\)的积分表达式
\begin{equation*}
U=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
并计算该积分的值. 这种方法,通常称为定积分的“元素法”或“微元法”。其中最主要的是第一步，即在自变量元素 \(\mathrm{d} x\) 的基础上,写出所求量 \(U\) 的元素 \(\mathrm{d} U=f(x) \mathrm{d} x\text{.}\) 下面将应用这个思想方法讨论定积分在几何学、物理学中的一些应用问题.
