Section 7.4 本 章 小 结
Subsection 7.4.1 主要内容
定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题. 古希腊的阿基米德用穷竭法, 我国魏晋时期的刘徽用割圆术,计算过一些几何体的面积和体积, 这些均为定积分的雉形. 直到 17 世纪中叶, 牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念, 并发现了积分与微分之间的内在联系, 给出了计算定积分的一般方法, 从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具.
(1)定积分的元素法
元素法是在一定条件下运用“以直代曲”“以均匀代替非均匀”的辩证思想,把 \([a, b]\) 上的任意小区间 \([x, x+\mathrm{d} x]\) 所对应的部分量 \(\Delta U\) 近似地表示为 \(U\) 的元素 \(\mathrm{d} U\text{,}\) 即
\begin{equation*}
\Delta U \approx \mathrm{d} U=f(x) \mathrm{d} x,
\end{equation*}
再在 \([a, b]\) 上对 \(\mathrm{d} U\) 积分,得到
\begin{equation*}
U=\displaystyle \int_{a}^{b} \mathrm{~d} U=\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
(2)定积分在几何学上的应用
- 平面图形的面积: 在直角坐标系中, 由曲线 \(y=f_{1}(x), y=f_{2}(x)\left(f_{2}(x)>\right.\) \(\left.f_{1}(x)\right), x=a, x=b\) 所围成的平面图形的面积为\begin{equation*} A=\displaystyle \int_{a}^{b}\left[f_{2}(x)-f_{1}(x)\right] \mathrm{d} x \end{equation*}在极坐标系中,曲边扇形的面积为\begin{equation*} A=\frac{1}{2} \displaystyle \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} r^{2}(\theta) \mathrm{d} \theta \end{equation*}
- 体积: 由曲线 \(y=f(x)\) 与直线 \(x=a, x=b, y=0\) 所围成的平面图形绕 \(x\) 轴旋转一周所成旋转体的体积为\begin{equation*} V=\displaystyle \int_{a}^{b} \pi[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \end{equation*}平行截面面积已知的立体的体积为\begin{equation*} V=\displaystyle \int_{a}^{b} A(x) \mathrm{d} x . \end{equation*}
- 平面曲线的弧长: 利用弧微分公式 \(\mathrm{d} s=\sqrt{\mathrm{d} x^{2}+\mathrm{d} y^{2}}\text{,}\) 可以求出直角坐标方程 \(y=f(x)\text{,}\) 参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t), \\ y=\psi(t)\end{array}\right.\) 和极坐标方程 \(r=r(\theta)\) 三种形式的曲线弧长公式分别为\begin{equation*} s=\displaystyle \int_{a}^{b}\left[1+f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x, s=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\varphi^{\prime 2}+\psi^{\prime 2}} \mathrm{~d} t \text { 及 } s=\displaystyle \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \sqrt{r^{2}+r^{\prime 2}} \mathrm{~d} \theta \text {. } \end{equation*}
(3) 定积分在物理学上的应用
变力沿直线做功 \(: W=\displaystyle \int_{a}^{b} F(x) \mathrm{d} x\text{;}\)
液体的静压力: \(F=\displaystyle \int_{a}^{b} \rho g x \mathrm{~d} A(x)\text{;}\)
平均值和均方根: \(\bar{y}=\frac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, \sqrt{\frac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x}\text{.}\)
Subsection 7.4.2 基本要求
(1)理解定积分的元素法的概念, 掌握用元素法解决实际问题的基本思想和具体步骤。
(2)掌握在直角坐标系中求平面图形的面积的方法, 了解利用参数方程和极坐标方程求平面图形的面积的方法.
(3)掌握旋转体体积的求法,会求平行截面面积已知的立体的体积.
(4)会求平面曲线的弧长.
(5)掌握用元素法求解非均匀物体质量、变力做功、液体作用力、引力等物理应用问题.
Subsection 7.4.3 学习指导
定积分是一种特殊的和式,利用定积分经典的元素法 (分割、近似、求和、取极限)可以得到一些计算几何量 (平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积已知的立体的体积、平面曲线的弧长、旋转体的侧面积) 和物理量 (功、压力、引力、质心等) 的公式.
本章的重点是用定积分求解的方法—元素法, 计算平面图形的面积、旋转 体的体积和平面曲线的弧长. 在实际问题中,有很多几何量、物理量要用积分和式的极限 (即定积分) 来计算. 用定积分表达这样的量, 不必拘泥于求和式极限的四个步骤. 关键要注意以下要点: (1) 根据所求量对区间的可加性, 确定分割哪个变量及其变化区间, 也就是选取一个适当的积分变量 \(x\text{,}\) 并确定其积分区间 \([a, b]\text{;}\) (2) 在被分割的区间上,任意选取一个子区间 \([x, x+\mathrm{d} x]\text{,}\) 在其上求部分和 \(\Delta U\) 的形如 \(f(x) \mathrm{d} x\) 的近似值, 即积分元素 \(\mathrm{d} v=f(x) \mathrm{d} x\text{.}\)
平面图形的面积主要学习由直角坐标表示、由极坐标表示和由参数方程表示三种情形下平面图形的面积;体积主要学习旋转体的体积和平行截面面积已知的立体的体积; 平面曲线的弧长在直角坐标方程、参数方程和极坐标方程三种形式下进行讨论. 本章学习应注重在元素法上下功夫, 掌握了元素法, 有关公式和证明就可轻而易举地解决了.
数学方法是解决物理学问题的理论思维工具, 可与物理思维巧妙结合解决物理学问题. 学生不但要掌握解决问题的思维方法,而且要加强培养对具体物理问题的分析能力, 弄清被求量的物理意义、决定因素, 以及定义式或计算公式. 在弄懂这些问题的基础上选择适当的坐标系, 根据物理模型确定积分微元、积分变量,再根据物体的几何形状确定积分上、下限,最后建立积分表达式并求解.
Subsection 7.4.4 自我检测题 7
- 求由曲线 \(y=x+1, y=x^{2}(x \geqslant 0), y=1, y=0\) 所围的平面图形的面积.
- 求由参数方程 \(x=a \cos t, y=b \sin t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi\) 所围的平面图形的面积.
- 求由曲线 \(r=3 \cos \theta\) 与 \(r=1+\cos \theta\) 所围图形的面积.
- 求由直线 \(y=0, x=\mathrm{e}\) 及曲线 \(y=\ln x\) 所围的平面图形的面积及该平面图形绕 \(x\) 轴旋转一周所得旋转体的体积.
- 计算椭球体 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1\) 的体积.
- 求星形线 \(x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi\) 的弧长.
- 设有盛满水的半球形蓄水池,其深度为 \(10 \mathrm{~m}\text{,}\)问抽空一池水所做的功.
- 直径为 \(6 \mathrm{~m}\) 的管道有一道闸门, 问盛水半满时, 闸门所受的力.
- 设有一长度为 \(l\text{,}\) 线密度为 \(\mu\) 的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为 \(a\) 处有一质量为 \(m\) 的质点 \(M\text{,}\) 试求这细棒对质点 \(M\) 的引力.
Subsection 7.4.5 复习题 7
-
求由下列曲线围成的平面图形的面积:
- \(y^{2}=2 x, y^{2}=-(x-1)\) 及 \(x=0\text{;}\)
- \(y=x^{2}, y=x\) 及 \(y=2 x\text{;}\)
- \(x y=1, y=x, y=2\) 及 \(x=0\text{;}\)
- \(y=x^{2}, y=2+x\text{.}\)
- 求由曲线 \(r=a \sin \theta, r=a(\cos \theta+\sin \theta)(a>0)\) 所围图形公共部分的面积.
- 求由 \(y=x^{2}, y=0\) 及 \(x=1\) 所围图形绕 \(x\) 轴旋转一周所得旋转体的体积.
- 求由曲线 \(y=x^{2}\) 及 \(x=y^{2}\) 所围图形绕 \(y\) 轴旋转一周所得旋转体的体积.
- 设抛物线 \(y=a x^{2}+b x+c\) 通过点 \((0,0)\text{,}\) 且当 \(x \in[0,1]\) 时, \(y \geqslant 0\text{,}\) 试确定 \(a, b, c\) 的值, 使得抛物线 \(y=a x^{2}+b x+c\) 与直线 \(x=1, y=0\) 所围图形的面积为 \(\frac{4}{9}\text{,}\) 且使该图形绕 \(x\) 轴旋转而成的旋转体的体积最小.
- 求抛物线 \(y=\frac{1}{2} x^{2}\) 被 \(x^{2}+y^{2}=3\) 所截下的有限部分的弧长.
- 一金属棒长 \(3 \mathrm{~m}\text{,}\) 离棒左端 \(x \mathrm{~m}\) 处的线密度为 \(\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}\text{,}\) 问 \(x\) 为何值时, \([0, x]\) 一段的质量为全棒质量的一半.
- 半径为 \(R\) 的球沉人水中, 球的上部与水面相切, 球的比重与水相同, 现将球从水中取出,需做多少功?
- 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长 \(8 \mathrm{~m}\) 和 \(6 \mathrm{~m}\text{,}\) 高为 \(10 \mathrm{~m}\text{,}\) 较长的底边与水面相齐,计算闸门一侧所受的力.
