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高等数学: 数字教材

T,谭易兰, C

Section 6.7 本章小结

Subsection 6.7.1 主要内容

本章主要内容分为六个部分. (1)定积分的概念, 主要通过两个实际问题给出：
  1. 曲边梯形面积的计算;
  2. 变速直线运动路程的计算.
(2)定积分的性质,具体包括: 定积分的运算性质、积分等式和不等式的性质, 积分中值定理.
(3)微积分基本定理,具体包括:
  1. 积分上限的函数及其导数;
  2. 牛顿-莱布尼茨公式 (也称为微积分基本公式).
(4)定积分的换元法与分部积分法,具体包括:
  1. 定积分的换元法;
  2. 定积分的分部积分法.
(5)反常积分的计算和反常积分敛散性的判断.

Subsection 6.7.2 基本要求

(1)正确理解定积分的概念, 掌握运用定积分解决实际问题的思想方法和具体步骤。 (2)理解定积分的性质、中值定理、积分上限函数的导数, 以及牛顿-莱布尼茨公式的含义和重要性. (3)借助原函数,能熟练地运用定积分的性质和牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的值. (4)熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法.

Subsection 6.7.3 学习指导

(1)定积分的概念
  1. 定积分的值是一个常数, 它只与被积函数 \(f(x)\) 及积分区间 \([a, b]\) 有关,而与积分变量的记号无关. 应根据定积分的定义深人理解这一点, 并注意在解题中灵活运用定积分的这一特性.
  2. 在区间 \([a, b]\) 上连续的函数 \(f(x)\) 一定在 \([a, b]\) 上可积.
  3. 设 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上有界, 且只有有限个间断点, 则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积.
  4. 定积分要求积分区间有限,被积函数在积分区间上有界.
  5. 定积分的几何意义: 曲线 \(y=f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上非负连续, 由直线 \(x=a,x=b, y=0\)及曲线 \(y=f(x)\) 所围成的曲边梯形的面积.
(2)不定积分与定积分的关系 设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续, 则 \(\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{x_{0}}^{x} f(x) \mathrm{d} x+C\text{,}\) 其中 \(x_{0} \in I\) 为定值, \(C\) 为任意常数.
(3)定积分的性质
  1. 函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的定积分具有线性性、不等性、区间可加性、估值性等,这些性质对定积分的计算、估值有着重要的意义.
  2. 积分中值定理与微分学中的拉格朗日中值定理相对应, 定理中 \(\xi\) 是 \((a, b)\)内的某一个值, 但并不确定. 由定理可知, 在 \([a, b]\) 上连续的函数 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内一定有一个值 \(\frac{1}{b-a} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\text{.}\)
(4)积分上限函数
\(\Phi(x)=\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数, 也即若 \(f(x)\) 是区间 \([a, b]\) 上的连续函数, 则 \(f(x)\) 的原函数一定存在且 \(\Phi^{\prime}(x)=f(x)\text{.}\) 这一结论揭示了微分运算与积分运算的互逆关系. 注意: \(\Phi^{\prime}(x)=\left[\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right]_{x}^{\prime}=f(x)\text{,}\) 是对积分上限 \(x\) 求导. 若设 \(\alpha(x), \beta(x)\) 是可导函数, 且 \(\Phi(x)=\displaystyle \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t) \mathrm{d} t\text{,}\) 则
\begin{equation*} \Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\displaystyle \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t) \mathrm{d} t\right]=f[\beta(x)] \beta^{\prime}(x)-f[\alpha(x)] \alpha^{\prime}(x) . \end{equation*}
注意: 积分上限函数的结构形式不同于一般函数, 它的自变量是积分的上限或下限. 关于这个函数有两个基本定理, 它们在整个微积分学中既基础又十分重要.
(5)定积分的计算
  1. 牛顿-莱布尼茨公式为计算定积分提供了一种有效而简便的计算方法, 也为定积分的广泛应用奠定了基础. 如果 \(F(x)\) 是连续函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的任一个原函数, 那么
    \begin{equation*} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a) . \end{equation*}
    这个定理的重要性在于将计算定积分的问题变成求原函数 \(F(x)\) 的问题, 这样就可以借助不定积分的计算方法来计算定积分. 同时针对定积分的特点,引人定积分的换元法和分部积分法，从而给出一种计算定积分的简便而统一的方法.
  2. 牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的有效工具. 在应用时应当注意公式使用的条件是被积函数在积分区间 \([a, b]\) 上连续, 对于在积分区间上有有限个第一 类间断点的函数，在求定积分时一定要注意用间断点将积分区间划分后再使用牛顿-莱布尼茨公式.
  3. 根据牛顿-莱布尼茨公式, 要计算定积分只需求出被积函数的原函数. 由于定积分是一个“和式”的极限, 是一个常数, 而不定积分是原函数族, 因此它们是完全不同的两个概念. 虽然利用牛顿-莱布尼茨公式可以找出它们的联系,但它们毕竟有自己的特性,这些特性在计算过程中必然有所反映.
  4. 定积分的换元法, 实质上是把不定积分的换元法推广到定积分中. 两者的不同之处在于：对定积分的被积函数进行换元时，积分上、下限也要作相应的变换，即 “换元必换限”. 在运用不定积分的换元法时所积累的经验和技巧，一般都可以用到定积分的换元法上.
  5. 定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法在选择 \(u\) 和 \(v\) 的原则上是一致的, 所不同的是定积分要同时变换积分上、下限. 因此, 选择一个函数在上、下限处的函数值为零, 可以简化计算过程.
  6. 在计算定积分时利用被积函数 \(f(x)\) 在对称区间 \([-a, a]\) 上的奇偶性,可简化定积分的计算,不过简化的前提是定积分是奇、偶函数在对称区间上的积分.
    若 \(f(x)\) 是 \([-a, a]\) 上的奇函数, 则 \(\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\text{;}\) 若 \(f(x)\) 是 \([-a, a]\) 上的偶函数,则 \(\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\text{.}\)
  7. 讨论定积分时,有两个基本约束条件：积分区间的有限性; 被积函数在积分区间上的有界性. 但在某些实际问题中,往往需要突破这些限制条件,考虑无穷区间上的积分或对无界函数求积分. 这种积分称为反常积分, 相应地,把前面讨论的积分称为正常积分或常义积分. 对反常积分, 实际上是利用常义积分来定义的.
反常积分的收敛性, 可以通过求被积函数的原函数, 根据其极限存在与否来判定. 本章最后一节反常积分的审敛法, 给出了不通过被积函数的原函数判定反常积分收敛性的判定法.

Subsection 6.7.4 自我检测题 6

  1. 选择题.
    1. 定积分 \(\displaystyle \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x\) 的值等于 ( ).
      1. \(\displaystyle 0\)
      2. \(\displaystyle b-a\)
      3. \(\displaystyle a-b\)
      4. 任意函数.
    2. 设 \(f(x)=x^{3}+x\text{,}\) 则定积分 \(\displaystyle \int_{-2}^{2} f(x) \mathrm{d} x\) 的值等于 ( ).
      1. \(\displaystyle 0\)
      2. \(\displaystyle 8\)
      3. \(\displaystyle \displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)
      4. \(\displaystyle 2 \displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)
    3. \(\displaystyle \int_{0}^{a}(\arcsin x)^{\prime} \mathrm{d} x\) 等于( ).
      1. \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
      2. \(\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
      3. \(\displaystyle \arcsin x-\frac{\pi}{2}\)
      4. \(\displaystyle \arcsin a\)
    4. 下列等式成立的是 ( ).
      1. \(\displaystyle \displaystyle \int_{-2}^{2} x^{3} \sin x \mathrm{~d} x=0\)
      2. \(\displaystyle \displaystyle \int_{-1}^{1} 2 \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=0\)
      3. \(\displaystyle \left[\displaystyle \int_{3}^{5} \ln x \mathrm{~d} x\right]^{\prime}=\ln 5-\ln 3\)
      4. \(\displaystyle \displaystyle \int_{-1}^{1} x \cos x \mathrm{~d} x=0\)
  2. 填空题.
    1. 设函数 \(\Phi(x)=\displaystyle \int_{1}^{x^{2}} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t\text{,}\) 则 \(\Phi^{\prime}(x)=\)
    2. \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle \int_{0}^{x} \sin ^{2} t \mathrm{~d} t}{x^{2}}=\)
    3. \(\displaystyle \displaystyle \int_{-2}^{2} x^{3} \mathrm{e}^{x^{2}} \cos x \mathrm{~d} x=\)
    4. \(\displaystyle \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x=\)
    5. \(\displaystyle \displaystyle \int_{1}^{e} \frac{\ln ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x=\)
  3. 计算题.
    1. \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} x \cos x \mathrm{~d} x\text{;}\)
    2. \(\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
    3. \(\displaystyle \int_{0}^{2}|1-x| \mathrm{d} x\text{;}\)
    4. \(\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{1}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
    5. \(\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x\text{.}\)
  4. 综合题.
    1. 设 \(f(x)= \begin{cases}x+1, & x<0, \\ 0, & x=0, \text { 求 } \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. } \\ x^{2}, & x>0,\end{cases}\)
    2. 证明: 若函数 \(f(x)\) 连续, 则 \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d} x\text{.}\)
    3. 设 \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & -1 \leqslant x<0, \\ 0, & x=0, \\ 1, & 0<x \leqslant 1,\end{array}\right.\) 求 \(F(x)=\displaystyle \int_{-1}^{x} f(x) \mathrm{d} x\) 及 \(F^{\prime}(x)\text{.}\)

Subsection 6.7.5 复习题 6

  1. 计算下列极限：
    1. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(\sqrt{n}+\sqrt{2 n}+\cdots+\sqrt{n^{2}}\right)\text{;}\)
    2. \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{4 n^{2}-2^{2}}+\frac{2}{4 n^{2}-3^{2}}+\cdots+\frac{n-1}{4 n^{2}-n^{2}}\right)\text{;}\)
    3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle \int_{0}^{\sin ^{2} x} \ln (1+t) \mathrm{d} t}{\sqrt{1+x^{4}}-1}\text{;}\)
    4. 设 \(f(x)\) 连续, 求 \(\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{x}{x-a} \displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\text{.}\)
  2. 计算下列定积分:
    1. \(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{2}\left(1+x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
    2. \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{|\cos x|}{\cos ^{2} x+2 \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
    3. \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~d} x\text{;}\)
    4. \(\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\) ( \(a, b\) 为常数).
  3. 证明下列各题:
    1. 试证 \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x\text{.}\)
    2. 若 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上均连续,证明: \(\left[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leqslant \displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \displaystyle \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x\) (柯西一施瓦茨不等式); \(\left(\displaystyle \int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}} \leqslant\left[\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x\right]^{\frac{1}{2}}+\left[\displaystyle \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x\right]^{\frac{1}{2}}\) (闵可夫斯基不等式).
    3. 设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续,且单调增加,求证 \(\displaystyle \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\text{.}\)
    4. 设 \(f(x)\) 定义在 \([a, b]\) 上,且对 \([a, b]\) 内任意两点 \(x, y\) 及 \(0<\lambda<1\) 有
      \begin{equation*} f[\lambda x+(1-\lambda) y] \leqslant \lambda f(x)+(1-\lambda) f(y), \end{equation*}
      试证: \(f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}{b-a} \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}\text{.}\)
    5. 设 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上可导, 且满足 \(f(1)-2 \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=0\text{,}\) 试证存在 \(\xi \in(0,1)\text{,}\) 使 \(f^{\prime}(\xi)=\) \(-\frac{f(\xi)}{\xi}\text{.}\)
  4. 试解下列各题:
    1. 设 \(f(x)=x-\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x\text{,}\) 求 \(f(x)\text{.}\)
    2. 设 \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & |x| \leqslant 1, \\ \frac{1}{x^{2}}, & |x|>1,\end{array}\right.\) 求 \(\displaystyle \int_{0}^{3} x f(x-1) \mathrm{d} x\text{.}\)
    3. 设 \(f(x)=\displaystyle \int_{0}^{1} t|t-x| \mathrm{d} t\text{,}\) 求 \(f^{\prime}(x)\text{.}\)
    4. 设 \(y=y(x)\) 由 \(x-\displaystyle \int_{1}^{y+x} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=0\) 确定,求 \(\left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}\text{.}\)
    5. 设 \(f(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 内连续, 且对任意的正数 \(a, b\text{,}\) 积分 \(\displaystyle \int_{a}^{a b} f(x) \mathrm{d} x\) 与 \(a\) 无关, 且 \(f(1)=1\text{,}\)求 \(f(x)\text{.}\)
    6. 设 \(f(x)\) 连续, 且 \(\displaystyle \int_{0}^{x} t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^{2}, f(1)=1\text{,}\) 求 \(\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x\text{.}\)
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