Theorem 6.6.1.
定理 1 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 内连续, 且 \(f(x) \geqslant 0\text{.}\) 若函数 \(F(x)=\) \(\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\) 在 \([a,+\infty)\) 内有上界,则反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛.
Section 6.6 反常积分的审敛法, \(\Gamma\) 函数
反常积分的收敛性, 可通过求被积函数的原函数, 然后根据其极限的存在与否来判定. 下面给出不通过求被积函数的原函数判定反常积分收敛性的判定法.
Subsection 6.6.1 无穷限反常积分的审敛法
事实上, 因为 \(f(x) \geqslant 0, F(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 内单调增加, 又 \(F(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 内有上界,故 \(F(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 内是单调有界的函数. 按照 “ \([a,+\infty)\) 内的单调有界函数 \(F(x)\) 必有极限 \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} F(x)\) ” 的准则, 就可知道极限 \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\) 存在, 即反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛.
根据Theorem 6.6.1 ,对于非负函数的无穷限的反常积分, 有以下的比较审敛原理.
Theorem 6.6.2.
定理 2 (比较审敛原理) 设函数 \(f(x), g(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 内连续. 若 \(0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)(a \leqslant x<+\infty)\text{,}\) 且 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x\) 收敛,则 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 也收敛; 若 \(0 \leqslant g(x) \leqslant f(x)(a \leqslant x<+\infty)\text{,}\) 且 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x\) 发散,则 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 也发散.
Proof.
证 设 \(a<t<+\infty\text{,}\) 由 \(0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)\) 及 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x\) 收敛, 得
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle \int_{a}^{t} g(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
这表明作为积分上限 \(t\) 的函数
\begin{equation*}
F(t)=\displaystyle \int_{a}^{t} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
在 \([a,+\infty)\) 内有上界. 由Theorem 6.6.1 即知反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛.
如果 \(0 \leqslant g(x) \leqslant f(x)\text{,}\) 且 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x\) 发散,那么 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 必定发散. 因为如果 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛, 由定理的第一部分知 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x\) 也收敛, 这与假设相矛盾. 证毕.因此有: 反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{p}}(a>0)\text{,}\)当 \(p>1\) 时收敛; 当 \(p \leqslant 1\) 时发散.
若取 \(g(x)=\frac{A}{x^{p}}(A>0)\text{,}\) 可得下面反常积分的比较审敛法.
Theorem 6.6.3.
定理 3 (比较审敛法 1 ) 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,+\infty)(a>0)\) 内连续, 且 \(f(x) \geqslant 0\text{.}\) 若存在常数 \(M>0\) 及 \(p>1\text{,}\) 使得 \(f(x) \leqslant \frac{M}{x^{p}}(a \leqslant x<+\infty)\text{,}\) 则反常积 分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛; 若存在常数 \(N>0\text{,}\) 使得 \(f(x) \geqslant \frac{N}{x}(a \leqslant x<+\infty)\text{,}\) 则反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.
Example 6.6.4.
例 1 判定反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{x^{5}+1}}\) 的敛散性.
Solution.
解 由于 \(0<\frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}+1}}<\frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}}=\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}\text{,}\) 根据Theorem 6.6.3 , 反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{x^{5}+1}}\) 收敛.
以Theorem 6.6.3为基础,可得下面的极限审敛法.
Theorem 6.6.5.
定理4 (极限审敛法 1) 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 内连续, 且 \(f(x) \geqslant 0\text{.}\)若存在常数 \(p>1\text{,}\) 使得 \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)\) 存在, 则反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛; 若 \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x f(x)=d>0\) (或 \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x f(x)=+\infty)\text{,}\) 则反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.
Proof.
证 设 \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)=c(p>1)\text{.}\) 根据极限的定义, 存在充分大的 \(X(X \geqslant a, X>0)\text{,}\)当 \(x>X\) 时,必有
\begin{equation*}
\left|x^{p} f(x)-c\right|<1,
\end{equation*}
得
\begin{equation*}
0 \leqslant x^{p} f(x)<1+c .
\end{equation*}
令 \(1+c=M>0\text{,}\) 于是在区间 \(X<x<+\infty\) 内不等式 \(0 \leqslant f(x)<\frac{M}{x^{p}}\) 成立. 由Theorem 6.6.3 知 \(\displaystyle \int_{X}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛,而
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x & =\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} \displaystyle \int_{a}^{t} f(x) \mathrm{d} x=\lim\limits_{t \rightarrow+\infty}\left[\displaystyle \int_{a}^{X} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{X}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \\
& =\displaystyle \int_{a}^{X} f(x) \mathrm{d} x+\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} \displaystyle \int_{X}^{t} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle \int_{a}^{X} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle \int_{X}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x,
\end{aligned}
\end{equation*}
故反常积分
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
收敛。
若 \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x f(x)=d>0\) (或 \(+\infty\) ), 则存在充分大的 \(X\text{,}\) 当 \(x>X\) 时, 必有
\begin{equation*}
|x f(x)-d|<\frac{d}{2},
\end{equation*}
由此得
\begin{equation*}
x f(x)>\frac{d}{2}
\end{equation*}
当 \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x f(x)=+\infty\) 时, 可取任意正数作为 \(d\text{.}\) 令 \(\frac{d}{2}=N>0\text{,}\) 因此在区间 \(X<x<+\infty\) 内不等式 \(f(x) \geqslant \frac{N}{x}\) 成立. 根据Theorem 6.6.3 知 \(\displaystyle \int_{X}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 发散, 从而反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.
Example 6.6.6.
例 2 判定反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{3 x+\sqrt{x}+2} \mathrm{~d} x\) 的收敛性.
Solution.
解 由于
\begin{equation*}
\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x \frac{1}{3 x+\sqrt{x}+2}=\frac{1}{3}
\end{equation*}
根据Theorem 6.6.5, 所给反常积分发散.
Example 6.6.7.
例 3 判定反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x \sqrt{1+x}} \mathrm{~d} x\) 的收敛性.
Solution.
解 由于
\begin{equation*}
\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{\arctan x}{x \sqrt{1+x}}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{x}{1+x}} \arctan x=\frac{\pi}{2},
\end{equation*}
根据Theorem 6.6.5 ,所给反常积分收敛.
假定反常积分的被积函数在所讨论的区间上可取正值也可取负值,对于这类反常积分的收敛性, 有如下的结论.
Theorem 6.6.8.
定理 5 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,+\infty)\) 内连续. 若反常积分
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x
\end{equation*}
收敛,则反常积分
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x
\end{equation*}
也收敛,且称为绝对收敛.
Proof.
证 令 \(\varphi(x)=\frac{1}{2}(f(x)+|f(x)|)\text{.}\) 于是 \(\varphi(x) \geqslant 0\text{,}\) 且 \(\varphi(x) \leqslant|f(x)|\text{,}\) 而
\(\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x\) 收敛, 由Theorem 6.6.2即知 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x\) 也收敛. 但 \(f(x)=2 \varphi(x)-\) \(|f(x)|\text{,}\) 因此
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=2 \displaystyle \int_{a}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d} x-\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x .
\end{equation*}
可见反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 是两个收敛的反常积分的差,因此是收敛的. 证毕.
Theorem 6.6.8可简单地表达为: 绝对收敛的反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 必定收敛.
Example 6.6.9.
例 4 判定反常积分 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \cos b x \mathrm{~d} x(a, b\) 都是常数,且 \(a>0)\) 的收敛性.
Solution.
解 因为 \(\left|\mathrm{e}^{-a x} \cos b x\right| \leqslant \mathrm{e}^{-a x}\text{,}\) 而 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x\) 收敛, 根据Theorem 6.6.2, 反常积分 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left|\mathrm{e}^{-a x} \cos b x\right| \mathrm{d} x\) 收敛. 由Theorem 6.6.8 可知所给反常积分收敛.
Subsection 6.6.2 无界函数的反常积分的审敛法
对于无界函数的反常积分, 也有类似的审敛法.
反常积分
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d} x}{(x-a)^{q}}
\end{equation*}
Theorem 6.6.10.
定理 6 (比较审敛法 2 ) 设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b]\) 上连续, 且 \(f(x) \geqslant 0\text{,}\) \(x=a\) 为 \(f(x)\) 的无界点. 若存在常数 \(M>0\) 及 \(q<1\text{,}\) 使得
\begin{equation*}
f(x) \leqslant \frac{M}{(x-a)^{q}} \quad(a<x \leqslant b),
\end{equation*}
则反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛; 若存在常数 \(N>0\text{,}\) 使得
\begin{equation*}
f(x) \geqslant \frac{N}{x-a} \quad(a<x \leqslant b),
\end{equation*}
则反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.
Theorem 6.6.11.
定理 7 (极限审敛法 2) 设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b]\) 上连续, 且 \(f(x) \geqslant 0, x=a\)为 \(f(x)\) 的无界点. 若存在常数 \(0<q<1\text{,}\) 使得 \(\lim\limits_{x \rightarrow a^{+}}(x-a)^{q} f(x)\) 存在, 则反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛; 若 \(\lim\limits_{x \rightarrow a^{+}}(x-a) f(x)=d>0\) (或 \(\left.\lim\limits_{x \rightarrow a^{+}}(x-a) f(x)=+\infty\right)\text{,}\) 则反常积分 \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 发散.
对于无界函数的反常积分, 当被积函数在所讨论的区间上可取正值也可取负值时, 有与Theorem 6.6.8 相类似的结论.
Example 6.6.12.
例 5 判定反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x-1}} \sin \frac{1}{x-1} \mathrm{~d} x\) 的收敛性.
Solution.
解 因为 \(\left|\frac{1}{\sqrt{x-1}} \sin \frac{1}{x-1}\right| \leqslant \frac{1}{\sqrt{x-1}}\text{,}\) 而 \(\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x-1}}\) 收敛, 所以根据Theorem 6.6.2,反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{2}\left|\frac{1}{\sqrt{x-1}} \sin \frac{1}{x-1}\right| \mathrm{d} x\) 收敛, 从而反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x-1}} \sin \frac{1}{x-1} \mathrm{~d} x\)也收敛.
Example 6.6.13.
例 6 判定反常积分 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}} \mathrm{~d} x\) 的收敛性.
Solution.
解 \(x=0\) 是无穷间断点. 因为
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}}=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}}+\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}} \quad (*)
\end{equation*}
所以式 (*) 右端第一项是一个被积函数在 \(x=0\) 处有无穷间断点的反常积分.
由于
\begin{equation*}
\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left[(x-0)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}}\right]=\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}}=1,
\end{equation*}
因此由极限形式的比较判别法知 \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}}\) 收敛.
式 (*)右端第二项是积分区间为无穷区间的广义积分. 因为
\begin{equation*}
\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}}\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0
\end{equation*}
所以由极限形式的比较判别法知 \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}}\) 收敛.
综上, \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x} \sqrt{x}}\) 收敛.
Subsection 6.6.3 \(\Gamma\) (Gamma) 函数
下面研究在理论和应用上都非常重要的一种反常积分一 \(\Gamma\) 函数.
\begin{equation}
\Gamma(s)=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x \quad(s>0) .\tag{6.6.1}
\end{equation}
\begin{equation*}
I_{1}=\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x, I_{2}=\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x
\end{equation*}
的收敛性.
对于 \(I_{1}\text{,}\) 当 \(s \geqslant 1\) 时, \(I_{1}\) 是定积分; 当 \(0<s<1\) 时,因为
\begin{equation*}
\mathrm{e}^{-x} \cdot x^{s-1}=\frac{1}{x^{1-s}} \cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{x}}<\frac{1}{x^{1-s}}
\end{equation*}
对于 \(I_{2}\text{,}\) 因为
\begin{equation*}
\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x^{2} \cdot\left(\mathrm{e}^{-x} x^{s-1}\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{s+1}}{\mathrm{e}^{x}}=0,
\end{equation*}
根据Theorem 6.6.5 ,\(I_{2}\) 也收敛.
所以反常积分 \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x\) 对 \(s>0\) 收敛.
关于 \(\Gamma\) 函数有如下几个重要性质.
1)递推公式 \(\Gamma(s+1)=s \Gamma(s)(s>0)\)
证 应用分部积分法, 有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\Gamma(s+1) & =\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s} \mathrm{~d} x=-\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{s} \mathrm{de}^{-x} \\
& =\left[-x^{s} \mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^{+\infty}+s \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x \\
& =s \Gamma(s)
\end{aligned}
\end{equation*}
其中 \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} x^{s} \mathrm{e}^{-x}=0\) 可由洛必达法则求得.
显然, \(\Gamma(1)=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=1\text{.}\)
一般地, 反复运用递推公式, 对任何正整数 \(n\text{,}\) 有
\begin{equation*}
\Gamma(n+1)=n ! .
\end{equation*}
2) 当 \(s \rightarrow 0^{+}\)时, \(\Gamma(s) \rightarrow+\infty\)
证 因为
\begin{equation*}
\Gamma(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s}, \Gamma(1)=1,
\end{equation*}
所以当 \(s \rightarrow 0^{+}\)时, \(\Gamma(s) \rightarrow+\infty\text{.}\)
3) \(\Gamma(s) \Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}(0<s<1)\)
这个公式称为余元公式,在此不作证明.
当 \(s=\frac{1}{2}\) 时,由余元公式可得
\begin{equation*}
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
\end{equation*}
4) \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
证 在 \(\Gamma(s)=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{5-1} \mathrm{~d} x\) 中, 作代换 \(x=u^{2}\text{,}\) 有
\begin{equation}
\Gamma(s)=2 \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^{2}} u^{2 s-1} \mathrm{~d} u\tag{6.6.2}
\end{equation}
再令 \(2 s-1=t\) 或 \(s=\frac{1+t}{2}\text{,}\) 即有
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^{2}} u^{t} \mathrm{~d} u=\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1+t}{2}\right) \quad(t>-1) .
\end{equation*}
上式左端是应用上常见的积分, 它的值可以通过上式用 \(\Gamma\) 函数计算出来.
在(6.6.2) 中, 令 \(s=\frac{1}{2}\text{,}\) 得
\begin{equation*}
2 \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},
\end{equation*}
从而
\begin{equation*}
\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=\frac{\sqrt{\pi}}{2} .
\end{equation*}
上式左端的积分是在概率论中讨论正态分布时用到的一个重要结论.
Subsection 6.6.4 习题6-6
-
判定下列反常积分的收敛性：
- \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+x+1} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[4]{x^{3}+4 x^{2}+3 x+1}}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sin \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x|\sin x|}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x \arctan x}{1+x^{3}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}(1-x)}} \mathrm{d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{(\sqrt{x})^{3}+3 x}\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x\text{;}\)
- \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}+2 x+2} \mathrm{~d} x\text{.}\)
- 证明: 若反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x\) 收敛, 则反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 也收敛.
- 当 \(p>0, q>0\) 时, 反常积分 \(\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x\) 收敛. 此时, 该积分是参数 \(p, q\) 的函数, 称为 Beta 函数, 记作
\begin{equation*}
\mathrm{B}(p, q)=\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x \quad(p>0, q>0) .
\end{equation*}
证明 Beta 函数有如下性质:
- \(\mathrm{B}(p, q)=\mathrm{B}(q, p)\text{;}\)
- \(\mathrm{B}(n, m)=\frac{\Gamma(n) \Gamma(m)}{\Gamma(m+n)}\text{,}\) 其中 \(m, n\) 为正整数.
