高等数学: 数字教材

通过对第 6 章定积分概念建立过程的学习可知, 定积分是从实际问题 (曲边梯形的面积、变速直线运动路程的计算) 中抽象出来的, 因此, 定积分具有广阔的应用背景, 它推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展. 定积分可以解决具有可加性且分布不均匀的量的计算问题. 可加性是指将所求量分割成很多小部分. 长度、体积、质量、力所做的功等都是具有可加性的量. 利用定积分解决实际问题的关键是把实际问题转化为某个函数的定积分. 其中, 元素法是解决问题的重要方法, 它蕴含了 “以匀代变、以直代曲的思想”. 利用元素法可解决几类常见的几何问题 (如平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线的弧长), 以及物理问题 (如变力沿直线所做的功、液体的静压力、引力、平均值和均方根等). 正是定积分的产生和发展, 才使几何学和物理学中的一些精确计算成为可能.

本章着重讨论定积分在几何和物理中的应用. 通过对典型案例的学习,深刻理解和掌握元素法的思想和方法, 为灵活运用定积分解决各领域中的实际问题奠定基础.