解 当 \(-1<x<1\) 时有展开式
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\cdots+(-1)^{n-1} x^{n-1}+\cdots, \\
& \frac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+x^{4}-\cdots+(-1)^{n-1} x^{2 n-2}+\cdots,
\end{aligned}
\end{equation*}
对于 \(|x|<1\text{,}\) 由 0 到 \(x\) 对上述展开式逐项积分得
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \ln (1+x)=\displaystyle \int_{0}^{x} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+\cdots, \\
& \arctan x=\displaystyle \int_{0}^{x} \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots,
\end{aligned}
\end{equation*}
右端的两个幂级数的收敛半径仍是 \(R=1\text{.}\)
第一个幂级数当 \(x=-1, x=1\) 依次成为
\(-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\cdots-\frac{1}{n}-\cdots\text{,}\) 它是发散的;
\begin{equation*}
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots \text {, 它是收敛的. }
\end{equation*}
因此第一个展开式收敛域是 \(-1<x \leqslant 1\text{.}\)
第二个幂级数当 \(x=-1, x=1\) 依次成为
\(-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+(-1)^{n} \frac{1}{2 n-1}+\cdots\text{,}\) 它是收敛的;
\(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{2 n-1}+\cdots\text{,}\) 它是收敛的.
因此第二个展开式的收敛域是 \(-1 \leqslant x \leqslant 1\text{.}\)
于是有公式
\begin{equation}
\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+\cdots,-1<x \leqslant 1 .\tag{8.5.12}
\end{equation}
\begin{equation}
\arctan x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots,-1 \leqslant x \leqslant 1\tag{8.5.13}
\end{equation}
因为当 \(x=1\) 时, \(\ln (1+1)=\ln 2, \arctan 1=\frac{\pi}{4}\text{,}\) 所以有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& \ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots, \\
& \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{2 n-1}+\cdots .
\end{aligned}
\end{equation*}
